Uma lâmpada de 100 W é conectada em uma saída padrão de 120 V (rms). Encontre (a) I_{r m s}, (b) I_{m x} e (c) a potência máxima.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Potência da lâmpada: P=100\\ \text{W}.
  • Tensão eficaz da rede: V_{\text{rms}}=120\\ \text{V}.
  • O enunciado pede:
    (a) I_{\text{rms}} (corrente eficaz),
    (b) I_{\text{mx}} (corrente de pico),
    (c) potência máxima (potência instantânea máxima).
  • Observação importante (usada implicitamente na resolução): assumir que a lâmpada é um dispositivo essencialmente resistivo, logo tensão e corrente estão em fase e a potência média real é dada por produto de valores eficazes.

Passo 2

Como obter I_{\text{rms}}.
  • Para um circuito puramente resistivo, a potência média real é
P = V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}}.
Aqui P é a potência média (em W), V_{\text{rms}} é a tensão eficaz (em V) e I_{\text{rms}} é a corrente eficaz (em A).
  • Isolando I_{\text{rms}}:
I_{\text{rms}}=\frac{P}{V_{\text{rms}}}.
  • Substituindo os valores:
I_{\text{rms}}=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}\\ \text{A}=0,833\ldots\\ \text{A}.
(ou seja, I_{\text{rms}}=0,833\overline{3}\\ \text{A}.)

Passo 3

Como obter I_{\text{mx}}.
  • Para uma corrente senoidal i(t)=I_{\text{mx}}\sin(\omega t), a relação entre valor eficaz e pico é
I_{\text{rms}}=\frac{I_{\text{mx}}}{\sqrt{2}},
porque \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T \sin^2(\omega t)\,dt} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Assim
I_{\text{mx}}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}.
  • Usando o I_{\text{rms}} calculado:
I_{\text{mx}}=\sqrt{2}\cdot\frac{5}{6}\approx1,1785\\ \text{A}.
(Arredondando, I_{\text{mx}}\approx1,18\\ \text{A}.)

Passo 4

Como obter a potência instantânea máxima.
  • Escrevendo tensões e correntes senoidais em fase: v(t)=V_{\text{mx}}\sin(\omega t) e i(t)=I_{\text{mx}}\sin(\omega t).
  • A potência instantânea é
p(t)=v(t)i(t)=V_{\text{mx}}I_{\text{mx}}\sin^2(\omega t).
  • Usando a identidade \sin^2(\omega t)=\dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2} vemos que p(t) oscila entre um valor mínimo e um máximo. O valor máximo ocorre quando \sin^2(\omega t)=1, então
p_{\text{max}}=V_{\text{mx}}I_{\text{mx}}.
  • Como V_{\text{mx}}=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}} e I_{\text{mx}}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}, temos
p_{\text{max}}=(\sqrt{2}V_{\text{rms}})(\sqrt{2}I_{\text{rms}})=2V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=2P.
  • Portanto, numericamente,
p_{\text{max}}=2\cdot100\\ \text{W}=200\\ \text{W}.

Passo 5

Resumo numérico (valores com arredondamento razoável):
  • I_{\text{rms}}=\dfrac{5}{6}\\ \text{A}=0,833\overline{3}\\ \text{A}.
  • I_{\text{mx}}\approx1,1785\\ \text{A} (≈ 1,18\\ \text{A}).
  • p_{\text{max}}=200\\ \text{W}.

Resposta

I_{\text{rms}}=\dfrac{5}{6}\\ \text{A}=0,833\overline{3}\\ \text{A}
I_{\text{mx}}\approx1,1785\\ \text{A}
p_{\text{max}}=200\\ \text{W}

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