EM qual frequência a reatância de um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} é igual aquela de um indutor de 1 mH ?

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a frequência em que a reatância do capacitor é igual à reatância do indutor.
Informações dadas:
  • Capacitância do capacitor: C=10\,\mu\mathrm{F}.
  • Indutância do indutor: L=1\,\mathrm{mH}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicadas de forma didática):
  • A reatância capacitiva (módulo) é a oposição ao fluxo de corrente alternada causada por um capacitor. A fórmula é
X_C=\frac{1}{2\pi f C},
onde:
  • X_C é a reatância capacitiva (em ohms, \Omega),
  • f é a frequência (em hertz, Hz),
  • C é a capacitância (em farads, F).
  • A reatância indutiva é a oposição causada por um indutor. A fórmula é
X_L=2\pi f L,
onde:
  • X_L é a reatância indutiva (em \Omega),
  • L é a indutância (em henrys, H).
Estas fórmulas vêm da resposta em regime senoidal: o capacitor tem impedância Z_C=\dfrac{1}{j\omega C} e o indutor Z_L=j\omega L, com \omega=2\pi f. As reatâncias são os módulos das partes imaginárias: |\Im(Z_C)|=1/(\omega C) e |\Im(Z_L)|=\omega L.

Passo 3

Equacionando o pedido: queremos X_C=X_L. Então
\frac{1}{2\pi f C}=2\pi f L.
Agora resolvemos essa equação para f. Multiplicando os dois lados por 2\pi f C obtemos
1=(2\pi f)^2 LC.
Tomando raiz quadrada dos dois lados,
2\pi f=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Isolando f,
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Dica de prova: decorar esta fórmula ajuda muito — é a frequência de ressonância de um circuito ideal LC onde magnitudes de reatâncias se igualam.

Passo 4

Converter os valores fornecidos para o SI e calcular LC:
C=10\,\mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{F},
L=1\,\mathrm{mH}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
Portanto
LC=(1\times10^{-3})\cdot(1\times10^{-5})=1\times10^{-8}.
A raiz quadrada é
\sqrt{LC}=\sqrt{1\times10^{-8}}=1\times10^{-4}.

Passo 5

Substituindo em f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}:
f=\frac{1}{2\pi\cdot 10^{-4}}=\frac{10^{4}}{2\pi}.
Agora uma aproximação numérica: 2\pi\approx 6,283185, então
f\approx\frac{10000}{6,283185}\approx1591,549\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar
f\approx1591,55\\ \mathrm{Hz}\approx1,59\\ \mathrm{kHz}.
Pequena motivação: consegue decorar o passo rápido — converter unidades, usar f=1/(2\pi\sqrt{LC}) e fazer a divisão.

Resposta

f\approx1591,55\\ \mathrm{Hz}

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