Uma resistência R e uma indutância de 1,4 \mathrm{H} estão em série com uma fonte de tensão c a de 60 Hz . A tensão através do resistor é 30 V , e a tensão através do indutor é de 40 V . (a) Qual é a resistência R ? (b) Qual é a tensão ca de entrada?

Passo 1

O enunciado dá um circuito em série composto por uma resistência R e uma indutância L=1,4\\ \mathrm{H}, alimentado por uma fonte CA de frequência f=60\\ \mathrm{Hz}. Foram medidas as tensões (provavelmente valores RMS) nos componentes:
  • tensão no resistor: V_R=30\\ \mathrm{V},
  • tensão no indutor: V_L=40\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
(a) determinar a resistência R;
(b) determinar a tensão CA de entrada (tensão total aplicada ao conjunto).

Passo 2

Ideia física e equações básicas (explicação didática).
  • Em um circuito série a mesma corrente I percorre todos os elementos. Ou seja, a corrente que passa pelo resistor também passa pelo indutor.
  • A tensão no resistor está em fase com a corrente. Isso significa que, em representação fasorial, o fasor de V_R está na mesma direção do fasor de corrente.
  • A tensão no indutor está defasada de +90^\circ em relação à corrente (ou seja, o fasor de V_L é perpendicular ao fasor de V_R quando representados no plano complexo).
  • A relação entre a tensão no indutor e a corrente é dada por
V_L = I\;\omega L,
onde \omega é a pulsação dada por \omega=2\pi f e L é a indutância.
  • A relação entre a tensão no resistor e a corrente é
V_R = I\;R.
Essas duas fórmulas permitem relacionar V_R, V_L, R, L e I.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Usar as fórmulas para escrever duas expressões para a corrente e igualá-las:
I=\frac{V_R}{R} \qquad\text{e}\qquad I=\frac{V_L}{\omega L}.
Igualando as duas expressões:
\frac{V_R}{R}=\frac{V_L}{\omega L}.
Despejando R:
R = \frac{V_R}{V_L}\,\omega L.
Substituindo os valores \,V_R=30\\ \mathrm{V}\,,\\ V_L=40\\ \mathrm{V}\,,\\ \omega=120\pi\,,\\ L=1{,}4\\ \mathrm{H}\,:
R = \frac{30}{40}\cdot(120\pi)\cdot 1{,}4.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Primeiro simplificar a fração:
\frac{30}{40}=\frac{3}{4}.
Calcular \omega L:
\omega L = (120\pi)\cdot 1{,}4 = 168\pi.
Portanto
R = \frac{3}{4}\cdot 168\pi = 126\pi\\ \Omega.
Avaliação numérica (aproximação):
126\pi \approx 126\times 3{,}14159\approx 395{,}84\\ \Omega.

Passo 6

Determinar a tensão de entrada total usando a soma fasorial.
  • Como V_R e V_L estão defasados de 90^\circ, os fasores são perpendiculares. A magnitude da tensão de entrada V_{\text{in}} é a soma vetorial perpendicular:
V_{\text{in}} = \sqrt{V_R^{2}+V_L^{2}}.
Substituindo V_R=30 e V_L=40:
V_{\text{in}}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{V}.
Observação didática: esse é o famoso triângulo 3–4–5 (30–40–50), então a tensão total fica 50 V.

Passo 7

Opcional — calcular a corrente (útil para verificar consistência).
Usando I=V_R/R:
I=\frac{30}{126\pi}\approx \frac{30}{395{,}84}\approx 0{,}0758\\ \mathrm{A}.
Também checa-se com I=V_L/(\omega L)=40/(168\pi) que dá o mesmo valor.

Resposta

R = 126\pi\\ \Omega \approx 395{,}84\\ \Omega
V_{\text{entrada}} = 50\\ \mathrm{V}

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