Um capacitor de
é carregado por uma fonte de 24 V e, em seguida, conectado entre os terminais de um resistor de
. Determine (a) a carga inicial do capacitor, (b) a corrente inicial que passa pelo resistor de
, (c) a constante de tempo do circuito, (d) a carga no capacitor após 4,0 ms , (e) a corrente que passa pelo resistor em
, (f) qual a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo de
a
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Capacitância:
. - Tensão de carga inicial do capacitor (antes de conectar ao resistor):
. - Resistência:
.
O que o enunciado pede:
(a) a carga inicial do capacitor ;
(b) a corrente inicial que passa pelo resistor de (logo após conectar);
(c) a constante de tempo do circuito ;
(d) a carga no capacitor após ;
(e) a corrente que passa pelo resistor em ;
(f) a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo de a
.
(a) a carga inicial do capacitor
(b) a corrente inicial que passa pelo resistor de
(c) a constante de tempo do circuito
(d) a carga no capacitor após
(e) a corrente que passa pelo resistor em
(f) a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo de
Passo 2
Entender a física básica do problema (curva de descarga de um RC) e a fórmula de carga inicial.
Quando o capacitor é carregado pela fonte de
, a carga no capacitor é dada pela fórmula básica:
Aqui
é a carga no capacitor (em coulombs),
a capacitância (em farads) e
a diferença de potencial (em volts).
Aplicando para a carga inicial
:
Substituindo os valores:
Fazendo a conta passo a passo:
Passo 3
Corrente inicial: raciocínio físico e cálculo.
Quando o capacitor carregado é ligado ao resistor (processo de descarga), inicialmente a tensão no capacitor vale
, então imediatamente após a conexão a queda de tensão no resistor é
. Pela Lei de Ohm:
onde
é a corrente inicial (em ampères) no resistor. Substituindo:
Observação sobre sinal/definição: aqui trato
como a corrente no resistor no sentido da descarga (do terminal positivo do capacitor através do resistor). Assim
é a corrente logo após
.
Passo 4
Constante de tempo
do circuito RC e sua interpretação.
A constante de tempo do circuito RC é
onde
tem unidades de segundos. Ela dá a escala de tempo da descarga: após tempo
a carga/corrente decai por um fator
.
Calculando:
Em milissegundos:
Passo 5
Equações temporais de carga e corrente durante a descarga (derivação curta).
Derivação física e diferencial (passo a passo, bem didático):
- Defina
como a carga no capacitor num instante . A tensão no capacitor é . - Use a Lei de Kirchhoff (volta): a soma das quedas de tensão
(não há fonte agora), e . - Relacione corrente e carga: por definição
. - Substituindo:
. - Reorganizando obtemos a equação diferencial de primeira ordem:
- Solução dessa equação com condição
é a exponencial:
- A corrente é a derivada de
:
Usando
(pois
), podemos escrever o módulo da corrente no sentido da descarga como
(Aqui
com sinal negativo indica que a carga está decrescendo; ao relatar a corrente num resistor durante descarga normalmente damos a magnitude como acima.)
Passo 6
Calcular a carga no capacitor em
.
Usamos
Convertendo
e lembrando
, o quociente é
Logo
Substituindo
e
:
Passo 7
Calcular a corrente no resistor em
.
Usamos a expressão da magnitude da corrente:
Sabemos
e
. Assim
Se quiser o sentido algébrico segundo
, então
(o sinal negativo indica que a carga está diminuindo). Geralmente para corrente que “passa pelo resistor” reporta-se a magnitude positiva
no sentido da descarga.
Passo 8
Energia dissipada no resistor entre
e
.
Método físico mais simples: a energia dissipada pelo resistor até tempo
é igual à energia inicial do capacitor menos a energia que ainda resta no capacitor em
. A energia armazenada no capacitor é
A energia inicial era
Logo a energia dissipada até tempo
é
Para
, calcule
:
Portanto
.
Calcule
:
Passo a passo:
Finalmente
(Se quiser checar com integração direta:
dá o mesmo resultado; estou usando a economia de energia do capacitor para ser mais direto.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (magnitude no sentido da descarga)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)