Um capacitor de 4,0 \mu \mathrm{~F} é carregado por uma fonte de 24 V e, em seguida, conectado entre os terminais de um resistor de 200 \Omega. Determine (a) a carga inicial do capacitor, (b) a corrente inicial que passa pelo resistor de 200 \Omega, (c) a constante de tempo do circuito, (d) a carga no capacitor após 4,0 ms , (e) a corrente que passa pelo resistor em t=4,0 \mathrm{~ms}, (f) qual a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo de t=0 a t=2,0 \mathrm{~ms} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Capacitância: C = 4{,}0\\ \mu\mathrm{F} = 4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Tensão de carga inicial do capacitor (antes de conectar ao resistor): V_0 = 24\\ \mathrm{V}.
  • Resistência: R = 200\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
(a) a carga inicial do capacitor Q_0;
(b) a corrente inicial que passa pelo resistor de 200\\ \Omega (logo após conectar);
(c) a constante de tempo do circuito \tau;
(d) a carga no capacitor após t=4{,}0\\ \mathrm{ms};
(e) a corrente que passa pelo resistor em t=4{,}0\\ \mathrm{ms};
(f) a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo de t=0 a t=2{,}0\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Entender a física básica do problema (curva de descarga de um RC) e a fórmula de carga inicial.
Quando o capacitor é carregado pela fonte de 24\\ \mathrm{V}, a carga no capacitor é dada pela fórmula básica:
Q = C\,V.
Aqui Q é a carga no capacitor (em coulombs), C a capacitância (em farads) e V a diferença de potencial (em volts).
Aplicando para a carga inicial Q_0:
Q_0 = C\,V_0.
Substituindo os valores:
Q_0 = \left(4{,}0\times10^{-6}\right)\cdot 24.
Fazendo a conta passo a passo:
4{,}0\times24 = 96 \quad\Rightarrow\quad Q_0 = 96\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 9{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Corrente inicial: raciocínio físico e cálculo.
Quando o capacitor carregado é ligado ao resistor (processo de descarga), inicialmente a tensão no capacitor vale V_0, então imediatamente após a conexão a queda de tensão no resistor é V_0. Pela Lei de Ohm:
I_0 = \frac{V_0}{R},
onde I_0 é a corrente inicial (em ampères) no resistor. Substituindo:
I_0 = \frac{24}{200} = 0{,}12\\ \mathrm{A}.
Observação sobre sinal/definição: aqui trato I(t) como a corrente no resistor no sentido da descarga (do terminal positivo do capacitor através do resistor). Assim I_0=0{,}12\\ \mathrm{A} é a corrente logo após t=0.

Passo 4

Constante de tempo \tau do circuito RC e sua interpretação.
A constante de tempo do circuito RC é
\tau = R\,C,
onde \tau tem unidades de segundos. Ela dá a escala de tempo da descarga: após tempo \tau a carga/corrente decai por um fator e.
Calculando:
\tau = 200\cdot\left(4{,}0\times10^{-6}\right)=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Em milissegundos:
\tau = 0{,}80\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

Equações temporais de carga e corrente durante a descarga (derivação curta).
Derivação física e diferencial (passo a passo, bem didático):
  • Defina q(t) como a carga no capacitor num instante t. A tensão no capacitor é v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}.
  • Use a Lei de Kirchhoff (volta): a soma das quedas de tensão v_R(t)+v_C(t)=0 (não há fonte agora), e v_R(t)=R\,i(t).
  • Relacione corrente e carga: por definição i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Substituindo: R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
  • Reorganizando obtemos a equação diferencial de primeira ordem:
\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{RC}\,q.
  • Solução dessa equação com condição q(0)=Q_0 é a exponencial:
q(t) = Q_0\,e^{-t/(RC)} = Q_0\,e^{-t/\tau}.
  • A corrente é a derivada de q(t):
i(t)=\frac{dq}{dt} = -\frac{Q_0}{RC}\,e^{-t/RC}.
Usando Q_0/(RC)=V_0/R (pois Q_0=C V_0), podemos escrever o módulo da corrente no sentido da descarga como
I(t)=\frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}.
(Aqui i(t) com sinal negativo indica que a carga está decrescendo; ao relatar a corrente num resistor durante descarga normalmente damos a magnitude como acima.)

Passo 6

Calcular a carga no capacitor em t=4{,}0\\ \mathrm{ms}.
Usamos
q(t)=Q_0\,e^{-t/\tau}.
Convertendo t=4{,}0\\ \mathrm{ms}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s} e lembrando \tau=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}, o quociente é
\frac{t}{\tau}=\frac{4{,}0\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{-4}}=5.
Logo
q(4{,}0\\ \mathrm{ms})=Q_0\,e^{-5}.
Substituindo Q_0=9{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{C} e e^{-5}\approx 6{,}73795\times10^{-3}:
q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = 9{,}6\times10^{-5}\cdot 6{,}73795\times10^{-3} \approx 6{,}47\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a corrente no resistor em t=4{,}0\\ \mathrm{ms}.
Usamos a expressão da magnitude da corrente:
I(t)=\frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}.
Sabemos \dfrac{V_0}{R}=0{,}12\\ \mathrm{A} e e^{-5}\approx6{,}73795\times10^{-3}. Assim
I(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = 0{,}12\cdot 6{,}73795\times10^{-3} \approx 8{,}09\times10^{-4}\\ \mathrm{A}.
Se quiser o sentido algébrico segundo i(t)=dq/dt, então i(4{,}0\\ \mathrm{ms})\approx -8{,}09\times10^{-4}\\ \mathrm{A} (o sinal negativo indica que a carga está diminuindo). Geralmente para corrente que “passa pelo resistor” reporta-se a magnitude positiva 8{,}09\times10^{-4}\\ \mathrm{A} no sentido da descarga.

Passo 8

Energia dissipada no resistor entre t=0 e t=2{,}0\\ \mathrm{ms}.
Método físico mais simples: a energia dissipada pelo resistor até tempo t é igual à energia inicial do capacitor menos a energia que ainda resta no capacitor em t. A energia armazenada no capacitor é
U(t)=\tfrac{1}{2}C\,v_C(t)^2 = \tfrac{1}{2}C\left(V_0 e^{-t/\tau}\right)^2 = \tfrac{1}{2}C V_0^2 e^{-2t/\tau}.
A energia inicial era
U_0=\tfrac{1}{2}C V_0^2.
Logo a energia dissipada até tempo t é
W_{\mathrm{diss}}(0\to t)=U_0-U(t)=\tfrac{1}{2}C V_0^2\left(1-e^{-2t/\tau}\right).
Para t=2{,}0\\ \mathrm{ms}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}, calcule 2t/\tau:
\frac{2t}{\tau}=\frac{2\cdot 2{,}0\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{-4}}=\frac{4{,}0\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{-4}}=5.
Portanto 1-e^{-2t/\tau}=1-e^{-5}\approx 1-6{,}73795\times10^{-3}=0{,}99326205.
Calcule U_0:
U_0=\tfrac{1}{2} C V_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot(4{,}0\times10^{-6})\cdot(24)^2.
Passo a passo:
(24)^2=576,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot4{,}0\times10^{-6}=2{,}0\times10^{-6},
U_0=2{,}0\times10^{-6}\cdot576=1{,}152\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Finalmente
W_{\mathrm{diss}}(0\to 2{,}0\\ \mathrm{ms}) = 1{,}152\times10^{-3}\cdot 0{,}99326205 \approx 1{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
(Se quiser checar com integração direta: W=\int_0^{t} i^2(t')R\,dt' dá o mesmo resultado; estou usando a economia de energia do capacitor para ser mais direto.)

Resposta

(a) Q_0 = 9{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{C}
(b) I_0 = 0{,}12\\ \mathrm{A}
(c) \tau = R C = 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{s} = 0{,}80\\ \mathrm{ms}
(d) q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = 6{,}47\times10^{-7}\\ \mathrm{C}
(e) I(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = 8{,}09\times10^{-4}\\ \mathrm{A} (magnitude no sentido da descarga)
(f) W_{\mathrm{diss}}(0\to2{,}0\\ \mathrm{ms}) \approx 1{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{J}

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