Duas cargas puntiformes idênticas e positivas, de módulo
, estão fixas nos vértices de um triângulo carga negativa
de massa 10 mg , que inicialmente está em repouso. Ao ser liberada, essa carga com cargas fixas. Desprezando qualquer atrito e considerando apenas as interações eletrostáticas, analise as ass
I. A velocidade máxima da carga de prova é aproximadamente
.
II. A carga de prova atinge sua velocidade máxima onde o potencial elétrico é nulo.
III. O movimento da carga de prova é um movimento harmônico simples.
IV. Se aumentarmos o módulo da carga negativa de prova, sua velocidade máxima também aumentará.
I. A velocidade máxima da carga de prova é aproximadamente
II. A carga de prova atinge sua velocidade máxima onde o potencial elétrico é nulo.
III. O movimento da carga de prova é um movimento harmônico simples.
IV. Se aumentarmos o módulo da carga negativa de prova, sua velocidade máxima também aumentará.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado fornece e o que está faltando — isto é crucial antes de começar a calcular.
Dados explícitos fornecidos:
- Duas cargas pontuais idênticas e positivas com módulo
estão fixas em dois vértices de um triângulo. - Há uma carga de prova negativa com
e massa que inicialmente está em repouso no vértice restante do triângulo. Ao ser liberada, interage apenas eletrostaticamente com as cargas fixas (sem atrito). - Precisamos analisar as afirmações I, II, III e IV.
Informações importantes que NÃO foram dadas (e que afetam cálculos numéricos e algumas conclusões):
- A geometria precisa do triângulo (por exemplo, é equilátero? qual é o comprimento dos lados?).
- As distâncias iniciais entre a carga de prova e cada uma das cargas
. - Se por “velocidade máxima” se entende a velocidade no ponto de maior aproximação entre as cargas ou a velocidade quando a carga chega ao infinito (se ela escapar).
Sem essas distâncias/geometria NÃO é possível calcular numericamente a velocidade mencionada na assertiva I.
As perguntas que analisaremos:
- I. A velocidade máxima da carga de prova é aproximadamente
. - II. A carga de prova atinge sua velocidade máxima onde o potencial elétrico é nulo.
- III. O movimento da carga de prova é um movimento harmônico simples.
- IV. Se aumentarmos o módulo da carga negativa de prova, sua velocidade máxima também aumentará.
Passo 2
Revisão das fórmulas e conceitos fundamentais que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Constante eletrostática de Coulomb:
. - Potencial elétrico criado por uma carga pontual
em uma distância é
onde
tem unidades de volts (V),
em coulombs e
em metros.
- Energia potencial elétrica entre duas cargas pontuais
e separadas por é
Aqui
é a energia potencial (joules). Para várias cargas fixas, a energia potencial da carga de prova é a soma das contribuições de cada uma:
onde
e
são as distâncias da carga de prova até cada carga
.
- Relação entre potencial elétrico total
e energia potencial: para uma carga teste ,
- Conservação da energia mecânica (sem atrito):
onde
é a energia cinética. Assim, a energia cinética máxima
ocorre quando a energia potencial
é mínima ao longo do movimento:
Portanto a velocidade máxima é
Passo 3
Análise da afirmação II (onde ocorre a velocidade máxima) — motivo detalhado:
- A velocidade máxima acontece quando a energia potencial
é mínima (porque energia cinética é a diferença entre a energia total e ). Portanto, precisamos relacionar o mínimo de com o potencial elétrico . - Como
, para uma carga negativa ( ) minimizar significa maximizar (porque multiplicando por número negativo inverte as ordens). Ou seja: - Se
: mínimo ↔ mínimo. - Se
: mínimo ↔ máximo.
- Se
- No nosso caso
. Então a velocidade máxima ocorre onde o potencial elétrico total é MÁXIMO, não onde . - Observação sobre o sinal de
neste problema específico: duas cargas positivas somam potenciais positivas; portanto o potencial no espaço (fora do infinito) é positivo e tipicamente atinge valores maiores próximos das cargas . O potencial só tende a quando se vai ao infinito. Logo, o ponto de velocidade máxima não será, em geral, um ponto com .
Conclusão sobre II: a afirmação II é falsa. A carga de prova NÃO atinge sua velocidade máxima onde o potencial elétrico é nulo; para
ela atinge
onde
for máximo.
Passo 4
Análise da afirmação III (movimento harmônico simples) — explicando o que é SHM e quando ocorre:
- Movimento harmônico simples (MHS) ocorre quando a força restauradora é linear na posição:
(com constante). Isso resulta numa equação diferencial linear cuja solução é seno/cosseno com frequência . - No caso eletrostático entre pontos, a força entre cargas pontuais varia aproximadamente como
, ou seja, não é linear em deslocamento em geral. - Contudo, se houver um ponto de equilíbrio estável (p. ex. o ponto médio da linha entre duas cargas simetricamente dispostas pode ser um ponto de equilíbrio), para pequenas oscilações ao redor desse ponto podemos fazer uma expansão de Taylor da energia potencial em torno do ponto de equilíbrio:
Se
, essa aproximação quadrática leva a uma força aproximadamente linear e o movimento pequeno será aproximadamente harmônico com frequência
.
- Portanto: o movimento NÃO é exatamente um MHS para amplitudes arbitrárias. Apenas para pequenas oscilações em torno de um equilíbrio estável a aproximação harmônica vale e o movimento é aproximadamente SHM.
Conclusão sobre III: a afirmação III é, em geral, falsa (só pode ser uma aproximação local para pequenas oscilações).
Passo 5
Análise da afirmação IV (dependência de
com
) — cálculo e explicação detalhada:
- A energia potencial de interação é linear em
: . Logo as diferenças de energia potencial que se transformam em energia cinética também são proporcionais a . - Supondo que a massa
e a configuração das cargas fixas não mudem, e que o trajeto permitido permaneça o mesmo, o máximo da energia cinética será proporcional a . Escrevendo:
onde
é a diferença de potencial que a carga “explora” ao mover-se (isto depende só da geometria e das
). Como
aumenta em módulo (tornando
mais negativo),
aumenta proporcionalmente a
.
- A velocidade máxima segue
ou seja,
(para
fixo).
- Portanto, ao aumentar o módulo da carga negativa de prova (tornar
mais negativo em módulo), a energia disponível para converter em energia cinética aumenta e, consequentemente, a velocidade máxima aumenta (assumindo que a carga não altera a configuração das cargas fixas).
Conclusão sobre IV: a afirmação IV é verdadeira (dado que a configuração das fontes de potencial permanece a mesma).
Passo 6
Análise da afirmação I (valor numérico de
) — por que não podemos confirmar:
- A fórmula geral para
, no caso em que a carga parte de uma posição inicial e atinge como máximo uma posição onde é mínimo, é
- Substituindo
e pela expressão correspondente no ponto de menor energia, obtemos uma fórmula explícita para que depende de , e das distâncias do ponto de mínima energia. Sem conhecer essas distâncias NÃO há como obter o valor numérico de . - Portanto, afirmar numericamente
exige dados geométricos (comprimento dos lados do triângulo ou distâncias entre cargas). Esses dados não foram fornecidos no enunciado. Não é correto nem seguro confirmar a afirmação I com os dados que temos.
Passo 7
Síntese rápida e incentivo
- Resumindo: posso decidir a verdade/false das afirmativas II, III e IV com base em princípios gerais; a afirmativa I pede cálculo numérico que não é possível sem a geometria/distâncias. Isso é comum em provas: quando falta dado numérico, a resposta correta costuma ser “impossível de determinar” ou a questão esperaria que reconhecêssemos a dependência de distâncias.
Resposta
I — Não é possível determinar (falta informação sobre distâncias/geometria).
II — Falsa.
III — Falsa.
IV — Verdadeira.
II — Falsa.
III — Falsa.
IV — Verdadeira.