Em lugares como salas de operação em hospitais e fábricas de placas de circutos eletrônicos, faíscas elétricas devem ser evitadas. Uma pessoa de pé em um piso aterrado sem encostar em nada, pode possuir uma capacitância corporal de, tipicamente, 150 pF , em paralelo com a capacitância de um pé de 80,0 \mathrm{pF} produzido pelas solas dielétricas de seus sapatos. A pessoa adquire energia eletrostática por interação com os móveis, roupas, equipamentos, embalagens, ou seja, qualquer outra coisa. A carga eletrostática é conduzida ao solo através da resistência equivalente dos dois sapatos em paralelo um com o outro. Um par de sapatos de sola de borracha pode apresentar uma resistência equivalente de 5000 \mathrm{M} \Omega. Um par de sapatos com sola especial anti-estática pode possuir uma resistência equivalente de 1,00 \mathrm{M} \Omega. Considere que o corpo e os sapatos da pessoa formam um circuito RC com o solo.
Quanto tempo leva um sapato de sola de borracha para ter sua carga estática reduzida de 3000 V para 100 V ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Capacitância corporal: 150\\ \text{pF}.
    • Capacitância produzida pelas solas (um pé): 80{,}0\\ \text{pF}.
    • Resistência equivalente do par de sapatos (sola de borracha): 5000\\ \text{M}\Omega.
    • Tensão inicial: V_0=3000\\ \text{V}.
    • Tensão final desejada: V(t)=100\\ \text{V}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o tempo que leva para a tensão cair de 3000\\ \text{V} para 100\\ \text{V} no circuito formado pelo corpo e sapatos (modelo RC com o capacitor ligado ao solo através da resistência dos sapatos).

Passo 2

Montagem do circuito e cálculo da capacitância total: por que somar as capacitâncias.
  • O enunciado diz que a capacitância corporal de 150\\ \text{pF} está em paralelo com a capacitância do pé de 80{,}0\\ \text{pF}. Quando capacitores estão em paralelo, suas capacitâncias se somam porque cada um “armazena” carga com a mesma tensão aplicada. Logo a capacitância total é
C_{\text{tot}} = 150\\ \text{pF} + 80{,}0\\ \text{pF} = 230\\ \text{pF}.
  • Converter para unidades SI (farads): 1\\ \text{pF}=10^{-12}\\ \text{F}. Assim
C_{\text{tot}} = 230\times 10^{-12}\\ \text{F} = 2{,}30\times 10^{-10}\\ \text{F}.

Passo 3

Tratamento da resistência: unidade e valor numérico.
  • O enunciado fornece a resistência equivalente do par de sapatos como 5000\\ \text{M}\Omega. Converter para ohms: 1\\ \text{M}\Omega=10^{6}\\ \Omega. Logo
R = 5000\times 10^{6}\\ \Omega = 5{,}00\times 10^{9}\\ \Omega.

Passo 4

Equação do descarregamento de um capacitor através de uma resistência (modelo RC) — derivação curta e interpretação.
  • Para um capacitor descarregando por uma resistência, a corrente instantânea é i=C\,\dfrac{dV}{dt} (com sinal apropriado). Pela lei de Ohm, i = -\dfrac{V}{R} (o sinal negativo indica que V diminui).
  • Igualando:
C\frac{dV}{dt} = -\frac{V}{R}.
  • Reorganizando:
\frac{dV}{V} = -\frac{dt}{RC}.
  • Integrando de t=0 (tensão V_0) até tempo t (tensão V(t)):
\int_{V_0}^{V(t)}\frac{dV}{V} = -\int_{0}^{t}\frac{dt}{RC}
o que dá, após integração,
\ln\!\left(\frac{V(t)}{V_0}\right) = -\frac{t}{RC}.
  • Isolando V(t) obtemos a expressão clássica do circuito RC:
V(t) = V_0\,e^{-t/(RC)}.

Passo 5

Aplicar a equação para encontrar o tempo necessário para ir de 3000\\ \text{V} a 100\\ \text{V}.
  • Começamos da relação
\frac{V(t)}{V_0} = e^{-t/(RC)}.
  • Substituindo V(t)=100\\ \text{V} e V_0=3000\\ \text{V}:
\frac{100}{3000} = e^{-t/(RC)} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{30} = e^{-t/(RC)}.
  • Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{1}{30}\right) = -\frac{t}{RC} \quad\Rightarrow\quad t = RC\ln(30).
  • Calcular RC:
RC = \bigl(5{,}00\times 10^{9}\\ \Omega\bigr)\bigl(2{,}30\times 10^{-10}\\ \text{F}\bigr).
Fazendo a conta:
RC = 5{,}00\times 2{,}30 \times 10^{9-10} = 11{,}5\times 10^{-1} = 1{,}15\\ \text{s}.
  • Calcular \ln(30). Podemos usar \ln(30)=\ln(3)+\ln(10)\approx 1{,}098612 + 2{,}302585 = 3{,}401197.
  • Finalmente:
t = 1{,}15\\ \text{s}\times 3{,}401197 \approx 3{,}91\\ \text{s}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza.
  • O resultado indica que, com sapatos de sola de borracha e as capacitâncias dadas, a descarga de 3000\\ \text{V} até 100\\ \text{V} ocorre em poucos segundos ( \sim 4\\ \text{s}). Isso faz sentido: a resistência muito grande (gigaohms) e a capacitância pequena dão uma constante de tempo da ordem de 1 s; para reduzir por um fator 30 precisa-se de algumas constantes de tempo (aqui \ln 30\approx 3{,}4 constantes de tempo).

Resposta

t \approx 3{,}91\\ \text{s}

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