1- Um capacitor, sem nenhum material entre as placas paralelas, tem raio circular de
e placas separadas de
. A carga chega em uma placa e saí da outra a uma taxa de
. (a) Ache a taxa de variação temporal do campo elétrico entre as placas. (b) Calcule a corrente de deslocamento entre as placas e compare com a corrente nos fios que alimentam o capacitor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Raio das placas:
. - Separação entre placas:
. (obs.: a distância entra se for preciso conhecer a partir de , mas aqui interessa a área.) - Taxa de chegada/saída de carga nas placas (corrente nos fios):
.
O enunciado pede:
(a) A taxa de variação temporal do campo elétrico entre as placas, ou seja .
(b) Calcular a corrente de deslocamento entre as placas e comparar com a corrente nos fios que alimentam o capacitor.
(a) A taxa de variação temporal do campo elétrico entre as placas, ou seja
(b) Calcular a corrente de deslocamento entre as placas e comparar com a corrente nos fios que alimentam o capacitor.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinho como numa aula curta.
- Área da placa circular: a área é dada por
onde
é o raio da placa e
tem unidade
.
- Corrente de deslocamento (conceito de Maxwell) — o que é e a fórmula:
quando o campo elétricomuda no tempo entre as placas, há uma variação do fluxo elétrico
(se
é uniforme e perpendicular às placas). A corrente de deslocamento
é definida por
onde
é a permissividade do vácuo, que vale
(farad por metro). Aqui:
-
tem unidades de ampère, -
é a área ( ), -
é a taxa de variação temporal do campo elétrico ( ).
Observação física importante (sem provas formais agora): a corrente que chega pelos fios faz acumular carga numa placa e retirar da outra, o que muda o campo
entre as placas; Maxwell mostrou que a expressão acima permite tratar essa mudança de campo como uma “corrente” que produz campo magnético igual à corrente nos fios — por isso a comparação pedida em (b).
Passo 3
Calcular a área
das placas.
Usando
:
Primeiro calcule
:
Agora multiplicando por
(usar
):
Arredondando com poucas casas relevantes:
Passo 4
Expressar
em termos da corrente conhecida
.
Pelo conceito da corrente de deslocamento,
Fisicamente, a corrente que chega pelos fios causa exatamente essa variação de fluxo entre as placas, logo a corrente de condução nos fios tem a mesma taxa de fluxo elétrico entre as placas; portanto, para relacionar com
usamos
. Assim:
Aqui explico cada símbolo:
-
: corrente nos fios (dada, em A). -
: permissividade do vácuo ( ). -
: área das placas (calculada no passo anterior). -
: taxa de variação do campo elétrico, que queremos.
Passo 5
Substituir números e calcular
numericamente, passo a passo.
Valores:
Calcule o denominador:
Primeiro:
.
Calcule (aproximação:
).
Logo
Calcule
Logo
Agora
Dividindo:
(Arredondei para três algarismos significativos; isso corresponde a cerca de
.)
Passo 6
Calcular a corrente de deslocamento explicitamente e comparar com a corrente nos fios.
Usando a fórmula
se substituirmos a expressão que obtivemos para
(isto é
), obtemos
Portanto, matematicamente e fisicamente, a corrente de deslocamento entre as placas é exatamente igual à corrente que circula nos fios que alimentam o capacitor. Numericamente:
Passo 7
Interpretação física rápida e palavra de incentivo.
- Resultado (a): a taxa de variação do campo elétrico entre as placas é muito grande (ordem de
) porque as constantes envolvidas (permissividade e área) são pequenas. - Resultado (b): a corrente de deslocamento entre as placas coincide com a corrente de condução nos fios; isso é o que garante a consistência das leis de Maxwell e explica porque o campo magnético ao redor da região entre placas responde como se houvesse corrente lá também.
Parabéns — é um problema clássico que mistura cálculo simples de área com a ideia fundamental da corrente de deslocamento. Continua firme que você tá no caminho certo!
Resposta
(a)
(b) (iguais à corrente nos fios).
(b)