1- Um capacitor, sem nenhum material entre as placas paralelas, tem raio circular de 4,6 c m e placas separadas de 0,8 \mathrm{~mm}. A carga chega em uma placa e saí da outra a uma taxa de 1,6 \mathrm{~A}. (a) Ache a taxa de variação temporal do campo elétrico entre as placas. (b) Calcule a corrente de deslocamento entre as placas e compare com a corrente nos fios que alimentam o capacitor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Raio das placas: r=4,6\\ \text{cm} = 0,046\\ \text{m}.
  • Separação entre placas: d=0,8\\ \text{mm} = 0,0008\\ \text{m}. (obs.: a distância entra se for preciso conhecer E a partir de V, mas aqui interessa a área.)
  • Taxa de chegada/saída de carga nas placas (corrente nos fios): I=1,6\\ \text{A}.
O enunciado pede:
(a) A taxa de variação temporal do campo elétrico entre as placas, ou seja \dfrac{dE}{dt}.
(b) Calcular a corrente de deslocamento entre as placas e comparar com a corrente nos fios que alimentam o capacitor.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinho como numa aula curta.
  1. Área da placa circular: a área é dada por
A=\pi r^{2},
onde r é o raio da placa e A tem unidade \text{m}^{2}.
  1. Corrente de deslocamento (conceito de Maxwell) — o que é e a fórmula:
    quando o campo elétrico \mathbf{E} muda no tempo entre as placas, há uma variação do fluxo elétrico
\Phi_{E}=E\cdot A
(se \mathbf{E} é uniforme e perpendicular às placas). A corrente de deslocamento I_{d} é definida por
I_{d}=\varepsilon_{0}\,\dfrac{d\Phi_{E}}{dt}=\varepsilon_{0}\,A\,\dfrac{dE}{dt},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, que vale \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m} (farad por metro). Aqui:
  • I_{d} tem unidades de ampère,
  • A é a área ( \text{m}^{2}),
  • \dfrac{dE}{dt} é a taxa de variação temporal do campo elétrico ( \text{V}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-1}).
Observação física importante (sem provas formais agora): a corrente que chega pelos fios faz acumular carga numa placa e retirar da outra, o que muda o campo E entre as placas; Maxwell mostrou que a expressão acima permite tratar essa mudança de campo como uma “corrente” que produz campo magnético igual à corrente nos fios — por isso a comparação pedida em (b).

Passo 3

Calcular a área A das placas.
Usando r=0,046\\ \text{m}:
A=\pi r^{2}=\pi (0,046)^{2}.
Primeiro calcule 0,046^{2}:
0,046^{2}=0,002116.
Agora multiplicando por \pi (usar \pi\approx3,1416):
A\approx3,1416\times0,002116\approx0,00665\\ \text{m}^{2}.
Arredondando com poucas casas relevantes:
A\approx0,00665\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Expressar \dfrac{dE}{dt} em termos da corrente conhecida I.
Pelo conceito da corrente de deslocamento,
I_{d}=\varepsilon_{0}\,A\,\dfrac{dE}{dt}.
Fisicamente, a corrente que chega pelos fios causa exatamente essa variação de fluxo entre as placas, logo a corrente de condução nos fios tem a mesma taxa de fluxo elétrico entre as placas; portanto, para relacionar com I usamos I_{d}=I. Assim:
I=\varepsilon_{0}\,A\,\dfrac{dE}{dt}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{dE}{dt}=\dfrac{I}{\varepsilon_{0}\,A}.
Aqui explico cada símbolo:
  • I: corrente nos fios (dada, em A).
  • \varepsilon_{0}: permissividade do vácuo ( 8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m}).
  • A: área das placas (calculada no passo anterior).
  • \dfrac{dE}{dt}: taxa de variação do campo elétrico, que queremos.

Passo 5

Substituir números e calcular \dfrac{dE}{dt} numericamente, passo a passo.
Valores:
I=1,6\\ \text{A},\qquad \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m},\qquad A\approx0,00665\\ \text{m}^{2}.
Calcule o denominador:
\varepsilon_{0}\,A\approx(8,85\times10^{-12})\times0,00665.
Primeiro: 8,85\times10^{-12}\times6,65\times10^{-3}=8,85\times6,65\times10^{-15}.
Calcule 8,85\times6,65\approx58,85 (aproximação: 8,85\times6,65=8,85\times(6+0,65)=53,1+5,7525=58,8525).
Logo
\varepsilon_{0}A\approx58,85\times10^{-15}=5,885\times10^{-14}\\ \text{(em SI)}.
Agora
\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{1,6}{5,885\times10^{-14}}\\ \text{V}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-1}.
Dividindo:
\dfrac{dE}{dt}\approx2,72\times10^{13}\\ \text{V}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-1}.
(Arredondei para três algarismos significativos; isso corresponde a cerca de 2,7\times10^{13}.)

Passo 6

Calcular a corrente de deslocamento explicitamente e comparar com a corrente nos fios.
Usando a fórmula
I_{d}=\varepsilon_{0}\,A\,\dfrac{dE}{dt},
se substituirmos a expressão que obtivemos para \dfrac{dE}{dt} (isto é \dfrac{I}{\varepsilon_{0}A}), obtemos
I_{d}=\varepsilon_{0}A\left(\dfrac{I}{\varepsilon_{0}A}\right)=I.
Portanto, matematicamente e fisicamente, a corrente de deslocamento entre as placas é exatamente igual à corrente que circula nos fios que alimentam o capacitor. Numericamente:
I_{d}=1,6\\ \text{A}.

Passo 7

Interpretação física rápida e palavra de incentivo.
  • Resultado (a): a taxa de variação do campo elétrico entre as placas é muito grande (ordem de 10^{13}\\ \text{V}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-1}) porque as constantes envolvidas (permissividade e área) são pequenas.
  • Resultado (b): a corrente de deslocamento entre as placas coincide com a corrente de condução nos fios; isso é o que garante a consistência das leis de Maxwell e explica porque o campo magnético ao redor da região entre placas responde como se houvesse corrente lá também.
    Parabéns — é um problema clássico que mistura cálculo simples de área com a ideia fundamental da corrente de deslocamento. Continua firme que você tá no caminho certo!

Resposta

(a) \dfrac{dE}{dt}\approx2,7\times10^{13}\\ \text{V}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-1}.
(b) I_{d}=1,6\\ \text{A} (iguais à corrente nos fios).

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