3- A corrente em um circuito de corrente alternada é dado por i(t)=5 \sin 120 \pi t, onde o tempo é medido em segundos e a corrente em Ampères.
(a) Qual é a corrente máxima? Dê pelo menos dois exemplos de tempos ela ocorre? Escrever esses tempos de forma generalizada. (b) Qual é o valor da corrente no circuito em 5 ms ?

Passo 1

O enunciado dá a corrente no tempo
i(t)=5\sin(120\pi t),
onde o tempo t está em segundos e a corrente em Ampères. As perguntas são:
(a) Qual é a corrente máxima? Dar pelo menos dois exemplos de tempos em que ela ocorre e escrever esses tempos de forma generalizada.
(b) Qual é o valor de i(t) quando t=5\\ \text{ms}?

Passo 2

Identificar parâmetros da função senoidal e interpretar o que significa “corrente máxima”.
A função tem a forma geral i(t)=A\sin(\omega t), onde:
  • A é a amplitude (valor máximo positivo da onda),
  • \omega é a velocidade angular em rad/s,
  • t é o tempo em s.
Comparando com i(t)=5\sin(120\pi t) tem-se:
A=5\quad\text{(Ampères)},\qquad \omega=120\pi\quad\text{(rad/s)}.è
Explicando: a amplitude A é o valor máximo que a função seno pode atingir multiplicado por A. Como \sin(\cdot) varia entre -1 e 1, a corrente varia entre -A e +A. Portanto a corrente máxima (valor máximo positivo) é A=5\\ \text{A}.

Passo 3

Calcular frequência e período (úteis para dar exemplos de tempos).
A relação entre \omega, frequência f e período T é:
\omega = 2\pi f,\qquad T=\frac{1}{f}.
Com \omega=120\pi:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{120\pi}{2\pi}=60\quad\text{(Hz)}.
Logo o período é
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\quad\text{(s)}\approx 0{,}016666\ldots\\ \text{s}=16{,}666\ldots\\ \text{ms}.
Explicando pedagogicamente: a cada T segundos a função se repete; assim, se achar um instante em que a corrente é máxima, adicionando T (ou múltiplos inteiros de T) obtém-se outros instantes de máximo.

Passo 4

Determinar os tempos em que a corrente atinge o máximo positivo.
A corrente atinge o máximo positivo quando \sin(\omega t)=1. A solução geral para \sin(\theta)=1 é
\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aplicando \theta=\omega t=120\pi t, obtemos:
120\pi t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k.
Isolando t:
t = \frac{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k}{120\pi} = \frac{1}{240} + \frac{k}{60},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicando passo a passo: divide-se numerador e denominador por \pi, simplifica-se e obtém-se a forma com frações em segundos. Essa fórmula já dá todos os instantes (passados e futuros) em que a corrente vale exatamente +5\\ \text{A}.

Passo 5

Listar dois exemplos concretos de tempos (usar valores inteiros de k).
  • Para k=0:
t=\frac{1}{240}\\ \text{s}=0{,}0041666\ldots\\ \text{s}=4{,}1666\ldots\\ \text{ms}.
  • Para k=1:
t=\frac{1}{240}+\frac{1}{60}=\frac{1}{48}\\ \text{s}=0{,}0208333\ldots\\ \text{s}=20{,}8333\ldots\\ \text{ms}.
Esses dois instantes são exemplos de quando a corrente alcança +5\\ \text{A}. Pode-se somar qualquer múltiplo inteiro de T=\dfrac{1}{60}\\ \text{s} a esses tempos para obter outros instantes de máximo.

Passo 6

Calcular a corrente em t=5\\ \text{ms} (parte b).
Primeiro converter 5\\ \text{ms} para segundos:
5\\ \text{ms}=0{,}005\\ \text{s}.
Avaliar i(0{,}005):
i(0{,}005)=5\sin\bigl(120\pi\cdot 0{,}005\bigr)=5\sin(0{,}6\pi).
Observar que 0{,}6\pi=\dfrac{3\pi}{5} (ou 108^\circ). O valor numérico de \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{5}\bigr) é aproximadamente 0{,}951056516. Portanto
i(0{,}005)\approx 5\times 0{,}951056516 \approx 4{,}75528258\\ \text{A}.
Arredondando de modo prático para a prova, pode-se dar i(5\\ \text{ms})\approx 4{,}7553\\ \text{A}.

Resposta

(a) Corrente máxima: 5\\ \text{A}. Ocorre em t=\dfrac{1}{240}+\dfrac{k}{60}\\ \text{s}, k\in\mathbb{Z}. Exemplos: t=\dfrac{1}{240}\\ \text{s}=4{,}166\ldots\\ \text{ms} e t=\dfrac{1}{48}\\ \text{s}=20{,}833\ldots\\ \text{ms}.
(b) i(5\\ \text{ms})\approx 4{,}7553\\ \text{A}

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