4- Duas correntes alternadas, i_{1} e i_{2}, em um nó de um circuito resulta em i=i_{1}+i_{2}. Se i_{1}=\sin (\omega t+\pi / 3) e i_{2}=3 \cos (\omega t-\pi / 6), mostre que i=4 \cos (\omega t-\pi / 6).

Passo 1

O enunciado nos dá que duas correntes alternadas somam num nó segundo i=i_{1}+i_{2} com as expressões:
  • i_{1}=\sin\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr),
  • i_{2}=3\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr).
O que se pede: mostrar que a soma resulta em
i=4\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica básica para relacionar seno e cosseno. A identidade é
\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\sin\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\;0+\sin\theta=\sin\theta,
portanto
\sin\theta=\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Isso significa que qualquer seno pode ser escrito como um cosseno com fase deslocada em \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Aplicar a identidade ao termo i_{1}. Tomando \theta=\omega t+\tfrac{\pi}{3} obtemos
i_{1}=\sin\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\cos\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}\Bigr).
Calcular a diferença de fases:
\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{2\pi-3\pi}{6}=-\tfrac{\pi}{6}.
Logo
i_{1}=\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Agora escrever a soma i=i_{1}+i_{2} usando as expressões em cosseno com a mesma fase:
i=\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr)+3\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Como são cossenos da mesma função \omega t-\tfrac{\pi}{6}, basta somar os coeficientes:
i=(1+3)\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=4\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 5

Comentário didático rápido (útil na prova): a operação que foi feita é a combinação de sinais de mesma frequência e mesma referência de fase — converteu-se seno em cosseno para colocar tudo na mesma base e somar amplitudes. Outra forma equivalente é usar representação fasorial: os fasores seriam 1\angle(-\tfrac{\pi}{6}) e 3\angle(-\tfrac{\pi}{6}), cuja soma é 4\angle(-\tfrac{\pi}{6}), que volta ao domínio do tempo como 4\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr). Isso confirma o resultado e é útil quando as fases não coincidem (aí usa-se soma vetorial).

Resposta

i=4\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{6}\bigr)

Exercícios relacionados