Um capacitor de 1 nF com uma carga inicial de 5,0 \mu \mathrm{C} é descarregado através de um resistor de 2,1 \mathrm{k} \Omega. Determine (a) a corrente no resistor e (b) a diferença de potencial no capacitor 9,0 \mu \mathrm{~s} após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor.

Passo 1

O enunciado pede: (a) a corrente no resistor e (b) a diferença de potencial no capacitor 9{,}0\\ \mu\mathrm{s} após ligar o resistor aos terminais do capacitor.
Dados fornecidos:
C = 1{,}0\\ \mathrm{nF} = 1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}
Q_0 = 5{,}0\\ \mu\mathrm{C} = 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}
R = 2{,}1\\ \mathrm{k}\Omega = 2{,}1\times10^{3}\\ \Omega
t = 9{,}0\\ \mu\mathrm{s} = 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}

Passo 2

Vamos entender o comportamento do circuito durante a descarga: quando o capacitor é conectado ao resistor, a carga Q no capacitor diminui com o tempo; essa variação cria uma corrente I pelo resistor. Uma relação útil é a Lei de Ohm para o resistor e a relação carga-tensão do capacitor:
V_C = \frac{Q}{C},\qquad V_R = I\,R.
Na descarga o módulo da tensão no resistor é igual ao módulo da tensão no capacitor, isto é V_R = V_C. Também a corrente é a taxa de variação da carga; como a carga do capacitor diminui, definimos
I = -\frac{dQ}{dt},
onde o sinal menos indica que Q diminui quando I é positiva (corrente saindo da placa positiva).

Passo 3

Usando V_R = V_C e I = -\dfrac{dQ}{dt} obtemos:
I\,R = \frac{Q}{C}\quad\Longrightarrow\quad -R\frac{dQ}{dt} = \frac{Q}{C}.
Reescrevendo,
\frac{dQ}{dt} = -\frac{Q}{RC}.
Essa é uma equação diferencial separável. Separamos variáveis e integramos:
\frac{dQ}{Q} = -\frac{dt}{RC}.
Integrando de 0 até t e usando Q(0)=Q_0:
\ln\!\left(\frac{Q(t)}{Q_0}\right) = -\frac{t}{RC}.
Logo a solução é a decaída exponencial clássica:
Q(t) = Q_0\,e^{-t/(RC)}.

Passo 4

A partir de Q(t) obtemos a tensão no capacitor e a corrente no resistor:
V(t)=\frac{Q(t)}{C} = \frac{Q_0}{C}\,e^{-t/(RC)} = V_0\,e^{-t/(RC)},
onde \displaystyle V_0=\frac{Q_0}{C} é a tensão inicial; e
I(t) = -\frac{dQ}{dt} = \frac{Q_0}{RC}\,e^{-t/(RC)} = I_0\,e^{-t/(RC)},
onde \displaystyle I_0=\frac{Q_0}{RC}=\frac{V_0}{R} é a corrente inicial (em módulo). Essas fórmulas dizem: tanto V(t) quanto I(t) decaem exponencialmente com constante de tempo \tau = RC.

Passo 5

Calculamos os valores numéricos passo a passo.
Primeiro a constante de tempo:
RC = (2{,}1\times10^{3}\\ \Omega)\,(1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}) = 2{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{s} = 2{,}1\\ \mu\mathrm{s}.
A razão t/(RC) é
\frac{t}{RC} = \frac{9{,}0\times10^{-6}}{2{,}1\times10^{-6}} = 4{,}285714\ldots
Calculemos a exponencial (vou mostrar uma estimativa prática):
e^{-4{,}285714}\approx e^{-4}\,e^{-0{,}285714}\approx 0{,}018315\cdot0{,}7515\approx 0{,}01376.
Agora a tensão inicial:
V_0=\frac{Q_0}{C}=\frac{5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}}{1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}}=5{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}=5000\\ \mathrm{V}.
A corrente inicial (módulo):
I_0=\frac{V_0}{R}=\frac{5000\\ \mathrm{V}}{2{,}1\times10^{3}\\ \Omega}=2{,}38095\ldots\\ \mathrm{A}\approx 2{,}38\\ \mathrm{A}.
Aplicando o fator exponencial:
V(t)=V_0\,e^{-t/(RC)}=5000\cdot0{,}01376\approx 68{,}8\\ \mathrm{V}.
I(t)=I_0\,e^{-t/(RC)}=2{,}38095\cdot0{,}01376\approx 0{,}0328\\ \mathrm{A}=32{,}8\\ \mathrm{mA}.
Observação sobre sinais: I(t) aqui é o módulo da corrente de descarga; a corrente real que reduz Q tem direção tal que Q diminui (o sinal negativo em I=-dQ/dt indicava isso).

Passo 6

Interpretação final rápida: em apenas 9{,}0\\ \mu\mathrm{s} (que é cerca de 4{,}29 vezes a constante de tempo \tau), o capacitor já perdeu quase toda a sua tensão inicial; a tensão caiu de 5000\\ \mathrm{V} para cerca de 69\\ \mathrm{V} e a corrente também caiu de cerca de 2{,}38\\ \mathrm{A} para cerca de 33\\ \mathrm{mA}. Dá para ver que circuitos com capacitâncias muito pequenas e cargas moderadas podem gerar tensões muito altas inicialmente — atenção prática em provas e laboratório!

Resposta

(a)\\ I(9{,}0\\ \mu\mathrm{s}) = 3{,}28\times10^{-2}\\ \mathrm{A} \approx 32{,}8\\ \mathrm{mA}\n (b)\\ V(9{,}0\\ \mu\mathrm{s}) = 6{,}88\times10^{1}\\ \mathrm{V} \approx 68{,}8\\ \mathrm{V}

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