Um capacitor de 1 nF com uma carga inicial de
é descarregado através de um resistor de
. Determine (a) a corrente no resistor e (b) a diferença de potencial no capacitor
após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor.
Passo 1
O enunciado pede: (a) a corrente no resistor e (b) a diferença de potencial no capacitor
após ligar o resistor aos terminais do capacitor.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Passo 2
Vamos entender o comportamento do circuito durante a descarga: quando o capacitor é conectado ao resistor, a carga
no capacitor diminui com o tempo; essa variação cria uma corrente
pelo resistor. Uma relação útil é a Lei de Ohm para o resistor e a relação carga-tensão do capacitor:
Na descarga o módulo da tensão no resistor é igual ao módulo da tensão no capacitor, isto é
. Também a corrente é a taxa de variação da carga; como a carga do capacitor diminui, definimos
onde o sinal menos indica que
diminui quando
é positiva (corrente saindo da placa positiva).
Passo 3
Usando
e
obtemos:
Reescrevendo,
Essa é uma equação diferencial separável. Separamos variáveis e integramos:
Integrando de
até
e usando
:
Logo a solução é a decaída exponencial clássica:
Passo 4
A partir de
obtemos a tensão no capacitor e a corrente no resistor:
onde
é a tensão inicial; e
onde
é a corrente inicial (em módulo). Essas fórmulas dizem: tanto
quanto
decaem exponencialmente com constante de tempo
.
Passo 5
Calculamos os valores numéricos passo a passo.
Primeiro a constante de tempo:
A razão
é
Calculemos a exponencial (vou mostrar uma estimativa prática):
Agora a tensão inicial:
A corrente inicial (módulo):
Aplicando o fator exponencial:
Observação sobre sinais:
aqui é o módulo da corrente de descarga; a corrente real que reduz
tem direção tal que
diminui (o sinal negativo em
indicava isso).
Passo 6
Interpretação final rápida: em apenas
(que é cerca de
vezes a constante de tempo
), o capacitor já perdeu quase toda a sua tensão inicial; a tensão caiu de
para cerca de
e a corrente também caiu de cerca de
para cerca de
. Dá para ver que circuitos com capacitâncias muito pequenas e cargas moderadas podem gerar tensões muito altas inicialmente — atenção prática em provas e laboratório!