(1 ponto) Bloquinho num plano inclinado: Um bloco de massa m é projetado com uma velocidade inicial de módulo 8.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, para cima em uma rampa com inclinação de 30^{\circ}. O coeficiente de atrito cinético entre a rampa e o bloco é 0.30 .
(a) Qual é a distância que o bloco percorre sobre a rampa antes de parar?
(b) Depois chegar no ponto mais alto, ou o bloco vai ficar parado ou voltará deslizando. Qual é o menor coeficiente de atrito estático, entre o bloco e a rampa, capaz de evitar que o bloco escorregue de volta?
(c) Supondo que ele volte a deslizar para baixo, qual será a aceleração do bloco? Note como a aceleração na descida é diferente da aceleração na subida. Explique de forma simples por que isso deve ocorrer.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m lançado para cima ao longo de uma rampa com inclinação \theta=30^\circ e velocidade inicial de módulo v_0=8{,}0\\ \mathrm{m/s}. O coeficiente de atrito cinético é \mu_k=0{,}30. Perguntas:
(a) Qual a distância que o bloco percorre sobre a rampa antes de parar?
(b) Qual o menor coeficiente de atrito estático \mu_s capaz de impedir que o bloco escorregue de volta depois de atingir o ponto mais alto?
(c) Se ele escorregar de volta, qual será a aceleração na descida? Explique por que essa aceleração difere da aceleração na subida.
Informações relevantes: v_0=8{,}0\\ \mathrm{m/s}, \theta=30^\circ, \mu_k=0{,}30, aceler. da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (usada nos cálculos). Não é necessário o valor de m porque ele se cancela nas equações com atrito proporcional a m.

Passo 2

Vamos identificar as forças atuando no bloco enquanto ele sobe (e também enquanto estiver parado/descendo):
  • Peso com componente ao longo da rampa: \,mg\sin\theta, apontando para baixo ao longo da rampa.
  • Força normal: \,N=mg\cos\theta (perpendicular à rampa). Aqui eu explico por quê: decompondo o peso em componentes ortogonais à rampa, a componente normal é mg\cos\theta.
  • Atrito cinético (enquanto desliza): \,f_k=\mu_k N=\mu_k mg\cos\theta. O atrito sempre age no sentido contrário ao movimento instantâneo do bloco: subindo aponta para baixo da rampa; descendo aponta para cima da rampa.
    Anotações sobre sinais e convenções: quando precisarmos de aceleração, escolheremos uma direção positiva ao longo da rampa (em cada caso é conveniente escolher coerentemente, explicarei passo a passo).

Passo 3

Calcular a aceleração enquanto o bloco sobe (forças resultantes e segunda lei):
Escolho o eixo positivo para cima ao longo da rampa. As forças ao longo da rampa (positivas para cima) são: nenhuma favorável; as que apontam para baixo são mg\sin\theta (peso, para baixo) e f_k=\mu_k mg\cos\theta (atrito, para baixo, já que o bloco sobe). Pela segunda lei \sum F = ma, temos
m a_{\text{up}} = -mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta.
Dividindo por m,
a_{\text{up}} = -g\big(\sin\theta + \mu_k\cos\theta\big).
Aqui: a_{\text{up}} é a aceleração (será negativa pois vai desacelerar o bloco que sobe). Vamos calcular numericamente usando \sin 30^\circ=0{,}5 e \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660:
a_{\text{up}} = -9{,}8\big(0{,}5 + 0{,}30\cdot 0{,}8660\big) = -9{,}8\big(0{,}5 + 0{,}2598\big) = -9{,}8(0{,}7598) \approx -7{,}45\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Determinar a distância até parar usando uma equação de cinemática para movimento com aceleração constante: fórmula usada
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x,
onde v é a velocidade final, v_0 a velocidade inicial, a a aceleração (constante) e \Delta x o deslocamento na direção escolhida. No nosso problema, durante a subida a velocidade final no ponto mais alto é v=0. Substituindo com a=a_{\text{up}} e resolvendo para \Delta x:
0 = v_0^2 + 2 a_{\text{up}} \Delta x \quad\Rightarrow\quad \Delta x = -\frac{v_0^2}{2 a_{\text{up}}}.
Note que a_{\text{up}}<0, então \Delta x>0. Agora substituímos os números: v_0=8{,}0\\ \mathrm{m/s} e a_{\text{up}}\approx -7{,}45\\ \mathrm{m/s^2}:
\Delta x = -\frac{(8{,}0)^2}{2(-7{,}45)} = \frac{64}{14{,}90} \approx 4{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resposta da parte (a): a distância percorrida até parar é \Delta x\approx 4{,}30\\ \mathrm{m}. (Calculamos usando a aceleração constante determinada pelo peso e pelo atrito cinético.)

Passo 6

Parte (b) — condição para o bloco permanecer parado no ponto mais alto:
Quando o bloco está parado, o atrito relevante é o atrito estático, que pode variar até um máximo f_{s,\max}=\mu_s N=\mu_s mg\cos\theta. Para que o bloco não escorregue de volta para baixo, o atrito estático máximo deve ser pelo menos igual à componente do peso que puxa para baixo:
\mu_s mg\cos\theta \ge mg\sin\theta.
Cancelando mg dos dois lados,
\mu_s \ge \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Portanto o menor coeficiente de atrito estático necessário é
\mu_{s,\min} = \tan\theta.
Com \theta=30^\circ,
\mu_{s,\min} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577.
Interpretação física: se \mu_s for menor que isso, a força máxima de atrito estático não consegue equilibrar mg\sin\theta e o bloco deslizará para baixo.

Passo 7

Parte (c) — aceleração na descida (se ele voltar a deslizar):
Agora o bloco desliza para baixo. É conveniente escolher eixo positivo para baixo ao longo da rampa. As forças ao longo da rampa (positivas para baixo) são: componente do peso mg\sin\theta (para baixo) e atrito cinético f_k=\mu_k mg\cos\theta (que agora aponta para cima, portanto negativa quando contamos positivo para baixo). Pela segunda lei:
m a_{\text{down}} = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta.
Dividindo por m,
a_{\text{down}} = g\big(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\big).
Substituindo valores ( \sin 30^\circ=0{,}5, \cos 30^\circ\approx0{,}8660, \mu_k=0{,}30):
a_{\text{down}} = 9{,}8\big(0{,}5 - 0{,}30\cdot 0{,}8660\big) = 9{,}8\big(0{,}5 - 0{,}2598\big) = 9{,}8(0{,}2402) \approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto, se escorregar para baixo, a aceleração será a_{\text{down}}\approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2} para baixo ao longo da rampa.

Passo 8

Explicação por que a aceleração na descida difere da aceleração na subida (intuição simples):
  • Enquanto o bloco sobe, o atrito cinético age para baixo, na mesma direção da componente do peso que retarda o movimento, então ambas somam e a desaceleração é grande em módulo ( |a_{\text{up}}| é grande).
  • Enquanto o bloco desce, o atrito cinético age para cima, ou seja, contraria a força peso. Assim a força resultante para baixo é menor, dando uma aceleração para baixo menor em módulo. Em fórmulas:
a_{\text{up}} = -g(\sin\theta + \mu_k\cos\theta)\quad\text{(grande desaceleração)}çã
a_{\text{down}} = \;g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)\quad\text{(aceleração menor, pois o atrito subtrai)}çã
Numericamente vimos a_{\text{up}}\approx -7{,}45\\ \mathrm{m/s^2} (módulo grande) enquanto a_{\text{down}}\approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2} (menor), justamente por causa da mudança no sentido da força de atrito.

Resposta

(a) \Delta x \approx 4{,}30\\ \mathrm{m}
(b) \mu_{s,\min} = \tan 30^\circ \approx 0{,}577
(c) a_{\text{down}} \approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo)

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