Considere que a Terra é uma esfera uniforme de massa M e raio R . Utilizando técnicas de integração, deduza a expressão para o momento de inércia do planeta em relação a um eixo de rotação passando pelos pólos.
Passo 1
O enunciado pede que você deduza a expressão do momento de inércia da Terra, assumida como uma esfera uniforme, em relação a um eixo de rotação passando pelos pólos.
Dados fornecidos: massa da Terra e raio da Terra
.
Pergunta explícita: obter , o momento de inércia da esfera sólida uniforme em relação ao eixo pelos pólos.
Dados fornecidos: massa da Terra
Pergunta explícita: obter
Passo 2
Conceito usado (aula rápida): o momento de inércia de um corpo contínuo em relação a um eixo é a soma (integral) de
vezes a massa de cada elemento, onde
é a distância perpendicular do elemento ao eixo. Matematicamente:
Aqui
é a massa do elemento de volume considerado. Para uma distribuição contínua com densidade volumétrica
,
onde
é um elemento de volume.
Passo 3
Escolha de coordenadas e expressão do elemento: usamos coordenadas esféricas centradas no centro da Terra, com o eixo
coincidente com o eixo de rotação (pólos). Em esféricas os elementos são:
onde
é a coordenada radial,
é o ângulo polar medido a partir do eixo
, e
é o ângulo azimutal. A distância perpendicular ao eixo é a projeção no plano
, isto é:
logo
Passo 4
Expressar
como integral tripla sobre a esfera, substituindo
e
:
Juntando fatores:
Passo 5
Calcular a integral angular em
:
Usamos a identidade
. Fazendo a integral definida:
Calcule cada parte:
. Para a segunda, use
, então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Portanto
Passo 6
Calcular a integral em
e a integral radial:
Passo 7
Reunir os resultados parciais na expressão de
:
Multiplicando os fatores numéricos:
Passo 8
Expressar a densidade uniforme
em função de
e
. O volume da esfera é
. Como a esfera é uniforme,
Passo 9
Substituir
em
e simplificar:
Cancele
e simplifique potências de
: