Considere que a Terra é uma esfera uniforme de massa M e raio R . Utilizando técnicas de integração, deduza a expressão para o momento de inércia do planeta em relação a um eixo de rotação passando pelos pólos. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede que você deduza a expressão do momento de inércia da Terra, assumida como uma esfera uniforme, em relação a um eixo de rotação passando pelos pólos.
Dados fornecidos: massa da Terra \,M e raio da Terra \,R.
Pergunta explícita: obter I, o momento de inércia da esfera sólida uniforme em relação ao eixo pelos pólos.

Passo 2

Conceito usado (aula rápida): o momento de inércia de um corpo contínuo em relação a um eixo é a soma (integral) de r_\perp^2 vezes a massa de cada elemento, onde r_\perp é a distância perpendicular do elemento ao eixo. Matematicamente:
I=\int r_\perp^2\,dm.
Aqui dm é a massa do elemento de volume considerado. Para uma distribuição contínua com densidade volumétrica \rho,
dm=\rho\,dV,
onde dV é um elemento de volume.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão do elemento: usamos coordenadas esféricas centradas no centro da Terra, com o eixo z coincidente com o eixo de rotação (pólos). Em esféricas os elementos são:
dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
onde \,r\in[0,R] é a coordenada radial, \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z, e \varphi\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal. A distância perpendicular ao eixo é a projeção no plano xy, isto é:
r_\perp = r\sin\theta,
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r_\perp^2 = r^2\sin^2\theta.

Passo 4

Expressar I como integral tripla sobre a esfera, substituindo dm=\rho\,dV e r_\perp^2:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \big(r^2\sin^2\theta\big)\,\rho\,\big(r^2\sin\theta\big)\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Juntando fatores:
I=\rho\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta\int_{0}^{R} r^4\,dr.

Passo 5

Calcular a integral angular em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \sin^3\theta=\sin\theta(1-\cos^2\theta). Fazendo a integral definida:
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta-\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta.
Calcule cada parte: \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2. Para a segunda, use u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta e quando \theta=0 temos u=1, quando \theta=\pi temos u=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta=\int_{1}^{-1} u^2(-du)=\int_{-1}^{1} u^2\,du=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi e a integral radial:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
\int_{0}^{R} r^4\,dr=\left[\frac{r^5}{5}\right]_{0}^{R}=\frac{R^5}{5}.

Passo 7

Reunir os resultados parciais na expressão de I:
I=\rho\cdot(2\pi)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{R^5}{5}\right).
Multiplicando os fatores numéricos:
I=\rho\cdot\frac{8\pi}{15}\,R^5.

Passo 8

Expressar a densidade uniforme \rho em função de M e R. O volume da esfera é \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3. Como a esfera é uniforme,
\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3M}{4\pi R^3}.

Passo 9

Substituir \rho em I e simplificar:
I=\left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right)\cdot\frac{8\pi}{15}\,R^5.
Cancele \pi e simplifique potências de R:
I=M\cdot\frac{3\cdot 8}{4\cdot 15}\,R^{2}=M\cdot\frac{24}{60}\,R^{2}=M\cdot\frac{2}{5}\,R^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\,M\,R^{2}

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