Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por
. Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo.
a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
b) Qual é a velocidade de onda para esta corda?
a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
b) Qual é a velocidade de onda para esta corda?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
-
Informações dadas:Observaram-se duas frequências ressonantes:e não houve nenhuma outra ressonância entre essas duas (ou seja, no intervalo de
até ). -
Perguntas:
a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
b) Qual é a velocidade de ondapara esta corda?
Passo 2
Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
Uma corda presa nas duas extremidades suporta ondas estacionárias cujos modos normais (harmônicos) têm comprimentos de onda e frequências dadas por:
Onde:
-
é o comprimento de onda do modo . -
é a frequência do modo . -
é a velocidade da onda na corda. -
é o comprimento da corda (a distância entre os suportes). -
é um inteiro positivo ( ) que identifica o número do harmônico; é o fundamental (a menor frequência de ressonância).
Uma forma útil de ver isso é notar que as frequências são múltiplos inteiros da fundamental:
Passo 3
Relacionando as frequências observadas com os harmônicos:
As duas frequências observadas correspondem a dois harmônicos inteiros distintos, digamos
e
, com
e
inteiros positivos.
Como o enunciado afirma que “não há nenhuma outra [ressonância] neste intervalo” entre
e
, isso significa que não existe nenhum harmônico com frequência entre essas duas. Portanto os dois harmônicos observados devem ser consecutivos (isto é,
). Se não fossem consecutivos haveria um valor inteiro entre
e
e, portanto, um harmônico com frequência entre
e
.
Logo podemos escrever:
Passo 4
Calcule a razão e determine
:
Primeiro calcule a razão:
Então
Resolvendo:
Portanto a frequência menor das duas observadas corresponde ao harmônico
, ou seja
.
Passo 5
Encontre a frequência fundamental (a mais baixa):
Como
, temos
Essa é a frequência de ressonância mais baixa da corda (o fundamental).
Passo 6
Calcule a velocidade de onda
:
Para o modo fundamental vale
. Como
,
A velocidade é
, então
Passo 7
Verificação rápida:
O quarto harmônico
seria
, que coincide com a outra frequência observada. Entre
e
não há outros harmônicos, confirmando a hipótese de serem consecutivos.