Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por 1 m. Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo.
a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
b) Qual é a velocidade de onda para esta corda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Informações dadas:
    L = 1\\ \text{m}
    Observaram-se duas frequências ressonantes:
    315\\ \text{Hz}\quad\text{e}\quad 420\\ \text{Hz},
    e não houve nenhuma outra ressonância entre essas duas (ou seja, no intervalo de 315\\ \text{Hz} até 420\\ \text{Hz}).
  • Perguntas:
    a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
    b) Qual é a velocidade de onda v para esta corda?

Passo 2

Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
Uma corda presa nas duas extremidades suporta ondas estacionárias cujos modos normais (harmônicos) têm comprimentos de onda e frequências dadas por:
\lambda_n = \frac{2L}{n}
f_n = \frac{v}{\lambda_n} = n\frac{v}{2L}
Onde:
  • \lambda_n é o comprimento de onda do modo n.
  • f_n é a frequência do modo n.
  • v é a velocidade da onda na corda.
  • L é o comprimento da corda (a distância entre os suportes).
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots) que identifica o número do harmônico; n=1 é o fundamental (a menor frequência de ressonância).
Uma forma útil de ver isso é notar que as frequências são múltiplos inteiros da fundamental:
f_n = n f_1,\qquad f_1=\frac{v}{2L}.

Passo 3

Relacionando as frequências observadas com os harmônicos:
As duas frequências observadas correspondem a dois harmônicos inteiros distintos, digamos f_a = n f_1 e f_b = m f_1, com n e m inteiros positivos.
Como o enunciado afirma que “não há nenhuma outra [ressonância] neste intervalo” entre 315\\ \text{Hz} e 420\\ \text{Hz}, isso significa que não existe nenhum harmônico com frequência entre essas duas. Portanto os dois harmônicos observados devem ser consecutivos (isto é, m=n+1). Se não fossem consecutivos haveria um valor inteiro entre n e m e, portanto, um harmônico com frequência entre 315 e 420\\ \text{Hz}.
Logo podemos escrever:
\frac{420}{315}=\frac{m}{n}=\frac{n+1}{n}.

Passo 4

Calcule a razão e determine n:
Primeiro calcule a razão:
\frac{420}{315}=\frac{420\div105}{315\div105}=\frac{4}{3}.
Então
\frac{n+1}{n}=\frac{4}{3}.
Resolvendo:
3(n+1)=4n \Rightarrow 3n+3=4n \Rightarrow n=3.
Portanto a frequência menor das duas observadas corresponde ao harmônico n=3, ou seja f_3=315\\ \text{Hz}.

Passo 5

Encontre a frequência fundamental (a mais baixa):
Como f_3 = 3 f_1, temos
f_1=\frac{f_3}{3}=\frac{315}{3}=105\\ \text{Hz}.
Essa é a frequência de ressonância mais baixa da corda (o fundamental).

Passo 6

Calcule a velocidade de onda v:
Para o modo fundamental vale \lambda_1=2L. Como L=1\\ \text{m},
\lambda_1=2\cdot 1=2\\ \text{m}.
A velocidade é v=f_1\lambda_1, então
v=105\\ \text{Hz}\times 2\\ \text{m}=210\\ \text{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida:
O quarto harmônico f_4 seria 4f_1=4\times105=420\\ \text{Hz}, que coincide com a outra frequência observada. Entre f_3=315\\ \text{Hz} e f_4=420\\ \text{Hz} não há outros harmônicos, confirmando a hipótese de serem consecutivos.

Resposta

105\\ \text{Hz}
210\\ \text{m/s}

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