Checkpoint 2.4.1

Uma gotícula de água carregando uma carga positiva é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme horizontal perto da superfície da Terra. A força elétrica horizontal é comparável em magnitude à força gravitacional exercida pela Terra. Descreva a trajetória da gotícula.

Passo 1

O enunciado descreve uma gotícula de água com carga positiva “solta” do repouso num ponto próximo da superfície da Terra, submetida a duas forças constantes: a força peso, \vec F_g, vertical para baixo, e a força elétrica, \vec F_e, horizontal (digamos, para a direita), com módulos comparáveis. O conteúdo é “movimento sob aceleração constante em duas direções ortogonais”. Vamos modelar as equações de movimento e deduzir a forma da trajetória.

Passo 2

Identificamos as forças e as acelerações correspondentes. Pela Segunda Lei de Newton:
\vec F_g = m\,\vec g \quad\Longrightarrow\quad a_y = -\,g
\vec F_e = q\,\vec E \quad\Longrightarrow\quad a_x = \frac{qE}{m}
Aqui tomamos o eixo x para a direção do campo elétrico (positiva para a direita) e o eixo y vertical (positiva para cima).

Passo 3

Como a gotícula parte do repouso em ambas as direções, as equações horária para x(t) e y(t) são
x(t) = \tfrac12\,a_x\,t^2 = \tfrac12\,\frac{qE}{m}\,t^2,
y(t) = y_0 + \tfrac12\,a_y\,t^2 = y_0 - \tfrac12\,g\,t^2.
Podemos definir y_0=0 como origem vertical sem perda de generalidade.

Passo 4

Eliminando t entre x(t) e y(t), temos
t^2 = \frac{2x}{a_x} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12\,g\;\frac{2x}{a_x} = -\frac{g}{a_x}\;x = -\frac{mg}{qE}\;x.
Isso mostra que a reta que liga os pontos (0,0) e (x,y) satisfaz uma equação afim.

Passo 5

Concluímos que a trajetória é retilínea, na direção do vetor aceleração resultante \vec a=(a_x,a_y). O ângulo \varphi abaixo da horizontal satisfaz
\tan\varphi = \frac{|a_y|}{a_x} = \frac{g}{\,qE/m\,} = \frac{mg}{qE}.
Se qE\approx mg, então \varphi\approx45^\circ.

Resposta

A gotícula mover-se-á ao longo de uma linha reta inclinada para baixo, na direção do vetor aceleração resultante, formando um ângulo \varphi com a horizontal tal que \tan\varphi=mg/(qE).

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