Um capacitor de placas paralelas com área de 0,3 \mathrm{~m}^{2}, cuja distância entre elas é de 5,5 mm , possui três dielétricos com interfaces normais a \vec{E} e \vec{D}, como segue: \kappa_{1}=3 e d_{1}=1 \mathrm{~mm}, \kappa_{2}=2 e d_{2}=2 \mathrm{~mm} e \kappa_{3}=6 e d_{3}=2,5 \mathrm{~mm}. Calcule a capacitância.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a capacitância do capacitor formado por placas paralelas com três camadas dielétricas empilhadas entre as placas.
Informações dadas:
  • Área das placas: A=0{,}3\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Distância total entre placas: 5{,}5\\ \mathrm{mm} (confirmei que 1{,}0+2{,}0+2{,}5=5{,}5\\ \mathrm{mm}).
  • Dielétrico 1: \kappa_{1}=3 e d_{1}=1\\ \mathrm{mm}.
  • Dielétrico 2: \kappa_{2}=2 e d_{2}=2\\ \mathrm{mm}.
  • Dielétrico 3: \kappa_{3}=6 e d_{3}=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Interfaces são normais a \vec{E} e \vec{D} (ou seja, as camadas estão empilhadas na direção do campo).
Pergunta clara: qual é a capacitância total C do conjunto?

Passo 2

Ideia física e fórmula básica para cada camada: cada camada dielétrica entre as placas age como um capacitor de placa-paralela com permitividade \kappa\epsilon_{0} e espessura d. A fórmula do capacitor de placas paralelas com dielétrico homogêneo é:
C = \frac{\kappa\,\epsilon_{0}\,A}{d},
onde
  • \kappa é a constante dielétrica relativa do material (adimensional),
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \epsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • A é a área das placas (m²),
  • d é a separação (m).
Vou explicar por quê: a capacitância mede a carga que cabe por unidade de diferença de potencial. Num capacitor de placas paralelas com dielétrico homogêneo, o campo entre as placas é E=\sigma/(\kappa\epsilon_0) (onde \sigma é densidade superficial de carga), a diferença de potencial é V=E d, e C=Q/V=\sigma A/(E d). Substituindo E obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Como as três camadas estão empilhadas ao longo da direção do campo (interfaces normais a \vec{E}), os três “capacitores” formados por cada camada ficam em série. Em série, as capacitâncias combinam pela soma dos inversos:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}.
Usando C_{i}=\dfrac{\kappa_{i}\epsilon_{0}A}{d_{i}} temos
\frac{1}{C_{i}}=\frac{d_{i}}{\kappa_{i}\epsilon_{0}A}.
Somando os três termos resulta numa forma compacta muito prática:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{\epsilon_{0}A}\left(\frac{d_{1}}{\kappa_{1}}+\frac{d_{2}}{\kappa_{2}}+\frac{d_{3}}{\kappa_{3}}\right).
Invertendo:
C_{\text{eq}}=\frac{\epsilon_{0}A}{\dfrac{d_{1}}{\kappa_{1}}+\dfrac{d_{2}}{\kappa_{2}}+\dfrac{d_{3}}{\kappa_{3}}}.
Esse é o jeito mais direto de calcular: em vez de calcular cada C_i e depois somar recíprocos, somamos as parcelas d_i/\kappa_i.

Passo 4

Conversão das distâncias para o SI (metros):
d_{1}=1\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad d_{2}=2\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad d_{3}=2{,}5\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Agora calculo cada termo \dfrac{d_{i}}{\kappa_{i}}:
\frac{d_{1}}{\kappa_{1}}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{3}=0{,}333333\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}33333\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
\frac{d_{2}}{\kappa_{2}}=\frac{2{,}0\times10^{-3}}{2}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\frac{d_{3}}{\kappa_{3}}=\frac{2{,}5\times10^{-3}}{6}=0{,}416666\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}16666\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Somando esses termos:
\frac{d_{1}}{\kappa_{1}}+\frac{d_{2}}{\kappa_{2}}+\frac{d_{3}}{\kappa_{3}} =3{,}33333\times10^{-4}+1{,}0\times10^{-3}+4{,}16666\times10^{-4}.
Fazendo a soma:
\frac{d_{1}}{\kappa_{1}}+\frac{d_{2}}{\kappa_{2}}+\frac{d_{3}}{\kappa_{3}}=1{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
(Nota amigável: ficou exatamente 0{,}00175\\ \mathrm{m}, o que facilita.)

Passo 6

Calculo agora o numerador \epsilon_{0}A:
\epsilon_{0}A=(8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m})\times(0{,}3\\ \mathrm{m}^{2}) =2{,}6562563451\times10^{-12}\\ \mathrm{F}\cdot\mathrm{m}.

Passo 7

Aplicando a fórmula compacta:
C_{\text{eq}}=\frac{\epsilon_{0}A}{\dfrac{d_{1}}{\kappa_{1}}+\dfrac{d_{2}}{\kappa_{2}}+\dfrac{d_{3}}{\kappa_{3}}} =\frac{2{,}6562563451\times10^{-12}}{1{,}75\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a divisão:
C_{\text{eq}}=1{,}51757476806\times10^{-9}\\ \mathrm{F}\approx1{,}52\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Em unidades mais usuais, isso é aproximadamente 1{,}52\\ \mathrm{nF}.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas bom para confiança): calcular C_{i} individualmente e somar recíprocos.
C_{1}=\frac{3\epsilon_{0}A}{1{,}0\times10^{-3}}=900\epsilon_{0}=7{,}968768\times10^{-9}\\ \mathrm{F},
C_{2}=\frac{2\epsilon_{0}A}{2{,}0\times10^{-3}}=300\epsilon_{0}=2{,}656256\times10^{-9}\\ \mathrm{F},
C_{3}=\frac{6\epsilon_{0}A}{2{,}5\times10^{-3}}=720\epsilon_{0}=6{,}375015\\ \times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Somando recíprocos \dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}} e invertendo retorna 1{,}5176\times10^{-9}\\ \mathrm{F}, confirmando o resultado acima (pequenas diferenças de arredondamento são normais).

Resposta

1{,}52\times10^{-9}\\ \mathrm{F}

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