4-) Um capacitor de placas paralelas (com placas perfeitamente condutoras), de separação entre placas (d), é preenchido com duas camadas de material (1) e (2). A primeira camada tem constante dielétrica \varepsilon_{1} e condutividade \sigma_{1}; a segunda, \varepsilon_{2} e \sigma_{2}. As espessuras das camadas são d_{1} e d_{2}, respectivamente. Um potencial V é aplicado através do capacitor . Despreze efeitos de borda. (a) Qual é o campo elétrico no material (1) e no material (2)? (b) Qual é a corrente que flui através do capacitor? (c) Qual é a densidade de carga superficial total na interface entre (1) e (2)? (d) Qual é a densidade de carga superficial livre na interface entre (1) e (2)?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas preenchido por duas camadas planas em série, com as seguintes informações:
  • Camada (1): constante dielétrica \varepsilon_{1}, condutividade \sigma_{1} e espessura d_{1}.
  • Camada (2): constante dielétrica \varepsilon_{2}, condutividade \sigma_{2} e espessura d_{2}.
  • Tensao aplicada entre as placas: V.
  • Desprezar efeitos de borda. A distância total entre placas é d=d_{1}+d_{2}.
    As perguntas são:
    (a) Qual é o campo elétrico em (1) e em (2)?
    (b) Qual é a corrente que flui através do capacitor (densidade de corrente normal J ou corrente total, conforme desejado)?
    (c) Qual é a densidade de carga superficial total na interface entre (1) e (2)?
    (d) Qual é a densidade de carga superficial livre na interface entre (1) e (2)?

Passo 2

Vamos traduzir as condições físicas e as leis básicas que precisamos (passo-a-passo e com intuição).
  • Estamos supondo regime estacionário DC: a tensão V é constante no tempo. Então não há variação temporal macroscópica de campos que gere corrente deslocamento como termo dominante — a corrente contínua é dada pela condução nos materiais. Em regime estacionário, a densidade de corrente \mathbf{J} satisfaz \nabla\cdot\mathbf{J}=0, o que, para geometria plana e uniforme, significa que a componente normal da densidade de corrente é a mesma em toda a coluna: a mesma corrente atravessa as duas camadas (séries).
  • Lei local de condução (análoga à Lei de Ohm no volume): a densidade de corrente em cada material é proporcional ao campo elétrico local:
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
Aqui, para a componente normal (tomando eixo x perpendicular às placas), escreveremos J = \sigma_1 E_1 em (1) e J = \sigma_2 E_2 em (2). Como a corrente é a mesma em série, J é igual em ambas as camadas.
  • A diferença de potencial total V é a soma das quedas de potencial nas duas camadas (campo constante em cada camada):
V = E_1 d_1 + E_2 d_2,
assumindo campos direcionados ao longo da normal e sinal escolhido coerentemente.
  • Condições de contorno eletrostáticas na interface (normal apontando de (1) para (2)):
    • Saldo de deslocamento (definição da carga livre superficial \sigma_f na interface):
    D_{2n} - D_{1n} = \sigma_f,onde D_i = \varepsilon_i E_i (componentes normais).
    • Gauss para o campo elétrico dá a densidade de carga superficial total (toda a carga física na superfície, livres + ligadas):
    \varepsilon_0\,(E_{2n}-E_{1n}) = \sigma_{\text{tot}}.A carga ligada (bound) é a diferença entre \sigma_{\text{tot}} e \sigma_f.
Essas equações serão suficientes para determinar E_1,E_2,J,\sigma_{\text{tot}},\sigma_f.

Passo 3

Usando continuidade da corrente e a lei de condução, escrevemos:
J = \sigma_1 E_1 = \sigma_2 E_2.
Isto dá a relação entre E_1 e E_2:
E_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,E_1.
Agora usar a condição da queda de potencial total:
V = E_1 d_1 + E_2 d_2 = E_1 d_1 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2}E_1 d_2 = E_1\!\left(d_1 + d_2\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\right).
Dessa expressão isolamos E_1:
E_1 = \frac{V}{\,d_1 + d_2\displaystyle\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,}.

Passo 4

Com E_1 obtido, encontramos E_2 pela relação entre campos:
E_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,E_1 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\cdot\frac{V}{\,d_1 + d_2\displaystyle\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,} = \frac{V}{\,d_2 + d_1\displaystyle\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\,},
que é a forma simétrica esperada. Uma forma alternativa, mais direta para uso em contas, é expressar E_i via a densidade de corrente J. Primeiro calculamos J:
a partir de V = J\!\left(\dfrac{d_1}{\sigma_1} + \dfrac{d_2}{\sigma_2}\right) (substituindo E_i=J/\sigma_i), temos
J = \frac{V}{\dfrac{d_1}{\sigma_1} + \dfrac{d_2}{\sigma_2}}.
Então
E_1 = \frac{J}{\sigma_1} = \frac{V}{\sigma_1\!\left(\dfrac{d_1}{\sigma_1}+\dfrac{d_2}{\sigma_2}\right)} \quad\text{e}\quad E_2 = \frac{J}{\sigma_2} = \frac{V}{\sigma_2\!\left(\dfrac{d_1}{\sigma_1}+\dfrac{d_2}{\sigma_2}\right)}.
Essas formas são equivalentes às apresentadas anteriormente; escolhe-se a que for mais conveniente.

Passo 5

Resposta à parte (b) — já temos J explicitamente (a densidade de corrente normal que atravessa o capacitor):
J = \frac{V}{\dfrac{d_1}{\sigma_1} + \dfrac{d_2}{\sigma_2}}.
Se for preciso a corrente total I, multiplica-se J pela área A das placas: I = J\,A.

Passo 6

Agora calculamos a densidade de carga superficial livre na interface (parte (d)). Usando a condição de contorno para D,
\sigma_f = D_{2n} - D_{1n} = \varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1.
Substitua os E_i que encontramos (pode-se usar as formas em termos de V ou a forma com J). Por exemplo, em termos de V:
\sigma_f = \varepsilon_2\left(\frac{V}{d_2 + d_1\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}}\right) - \varepsilon_1\left(\frac{V}{d_1 + d_2\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}}\right),
ou, usando J,
\sigma_f = \varepsilon_2\frac{J}{\sigma_2} - \varepsilon_1\frac{J}{\sigma_1} = J\!\left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} - \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right).
A segunda forma é muitas vezes mais compacta para análises.

Passo 7

Agora a densidade de carga superficial total na interface (parte (c)) é a soma de todas as cargas físicas na superfície (livres + ligadas). Pelo teorema de Gauss aplicado ao campo elétrico, temos:
\sigma_{\text{tot}} = \varepsilon_0\,(E_2 - E_1).
Usando as formas de E_i em termos de V ou de J obtemos:
\sigma_{\text{tot}} = \varepsilon_0\left(\frac{J}{\sigma_2} - \frac{J}{\sigma_1}\right) = J\,\varepsilon_0\!\left(\frac{1}{\sigma_2}-\frac{1}{\sigma_1}\right)
ou em termos de V substituindo J.
A carga ligada (bound) na interface é \sigma_b=\sigma_{\text{tot}}-\sigma_f; explicitamente dá
\sigma_b = \varepsilon_0(E_2-E_1) - \big(\varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1\big) = (\varepsilon_1-\varepsilon_0)E_1 - (\varepsilon_2-\varepsilon_0)E_2,
mas a questão pedia apenas \sigma_{\text{tot}} e \sigma_f.

Passo 8

Resumo prático (formas prontas para usar na prova):
  • Calcule J por
J = \frac{V}{\dfrac{d_1}{\sigma_1}+\dfrac{d_2}{\sigma_2}}.
  • Em seguida obtenha
E_1=\frac{J}{\sigma_1},\qquad E_2=\frac{J}{\sigma_2}.
  • Densidade de carga livre na interface:
\sigma_f=\varepsilon_2 E_2-\varepsilon_1 E_1 = J\!\left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right).
  • Densidade de carga superficial total na interface:
\sigma_{\text{tot}}=\varepsilon_0(E_2-E_1)=J\,\varepsilon_0\!\left(\frac{1}{\sigma_2}-\frac{1}{\sigma_1}\right).

Resposta

(a) \displaystyle E_1=\frac{V}{\,d_1 + d_2\displaystyle\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,}, \displaystyle E_2=\frac{V}{\,d_2 + d_1\displaystyle\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\,}
(b) \displaystyle J=\frac{V}{\dfrac{d_1}{\sigma_1}+\dfrac{d_2}{\sigma_2}} (corrente total I=J\,A se A for a área)
(c) \displaystyle \sigma_{\text{tot}}=\varepsilon_0\,(E_2-E_1)=J\,\varepsilon_0\!\left(\frac{1}{\sigma_2}-\frac{1}{\sigma_1}\right)
(d) \displaystyle \sigma_f=\varepsilon_2 E_2-\varepsilon_1 E_1 = J\!\left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right)

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