4-) Um capacitor de placas paralelas (com placas perfeitamente condutoras), de separação entre placas (d), é preenchido com duas camadas de material (1) e (2). A primeira camada tem constante dielétrica \varepsilon_{1} e condutividade \sigma_{1}; a segunda, \varepsilon_{2} e \sigma_{2}. As espessuras das camadas são d_{1} e d_{2}, respectivamente. Um potencial V é aplicado através do capacitor . Despreze efeitos de borda. (a) Qual é o campo elétrico no material (1) e no material (2)? (b) Qual é a corrente que flui através do capacitor? (c) Qual é a densidade de carga superficial total na interface entre (1) e (2)? (d) Qual é a densidade de carga superficial livre na interface entre (1) e (2)?
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas preenchido por duas camadas planas em série, com as seguintes informações:
Camada (1): constante dielétrica \varepsilon_{1}, condutividade \sigma_{1} e espessura d_{1}.
Camada (2): constante dielétrica \varepsilon_{2}, condutividade \sigma_{2} e espessura d_{2}.
Tensao aplicada entre as placas: V.
Desprezar efeitos de borda. A distância total entre placas é d=d_{1}+d_{2}.
As perguntas são:
(a) Qual é o campo elétrico em (1) e em (2)?
(b) Qual é a corrente que flui através do capacitor (densidade de corrente normal J ou corrente total, conforme desejado)?
(c) Qual é a densidade de carga superficial total na interface entre (1) e (2)?
(d) Qual é a densidade de carga superficial livre na interface entre (1) e (2)?
Passo 2
Vamos traduzir as condições físicas e as leis básicas que precisamos (passo-a-passo e com intuição).
Estamos supondo regime estacionário DC: a tensão V é constante no tempo. Então não há variação temporal macroscópica de campos que gere corrente deslocamento como termo dominante — a corrente contínua é dada pela condução nos materiais. Em regime estacionário, a densidade de corrente \mathbf{J} satisfaz \nabla\cdot\mathbf{J}=0, o que, para geometria plana e uniforme, significa que a componente normal da densidade de corrente é a mesma em toda a coluna: a mesma corrente atravessa as duas camadas (séries).
Lei local de condução (análoga à Lei de Ohm no volume): a densidade de corrente em cada material é proporcional ao campo elétrico local:
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
Aqui, para a componente normal (tomando eixo x perpendicular às placas), escreveremos J = \sigma_1 E_1 em (1) e J = \sigma_2 E_2 em (2). Como a corrente é a mesma em série, J é igual em ambas as camadas.
A diferença de potencial total V é a soma das quedas de potencial nas duas camadas (campo constante em cada camada):
V = E_1 d_1 + E_2 d_2,
assumindo campos direcionados ao longo da normal e sinal escolhido coerentemente.
Condições de contorno eletrostáticas na interface (normal apontando de (1) para (2)):
Saldo de deslocamento (definição da carga livre superficial \sigma_f na interface):
que é a forma simétrica esperada. Uma forma alternativa, mais direta para uso em contas, é expressar E_i via a densidade de corrente J. Primeiro calculamos J:
a partir de V = J\!\left(\dfrac{d_1}{\sigma_1} + \dfrac{d_2}{\sigma_2}\right) (substituindo E_i=J/\sigma_i), temos
A segunda forma é muitas vezes mais compacta para análises.
Passo 7
Agora a densidade de carga superficial total na interface (parte (c)) é a soma de todas as cargas físicas na superfície (livres + ligadas). Pelo teorema de Gauss aplicado ao campo elétrico, temos:
\sigma_{\text{tot}} = \varepsilon_0\,(E_2 - E_1).
Usando as formas de E_i em termos de V ou de J obtemos: