2-) Calcule a resistência entre o condutor central de raio (a) e o condutor coaxial de raio (b) para um cilindro de comprimento l \gg b, que está preenchido com um dielétrico de permissividade \varepsilon e condutividade \sigma. Calcule também a capacitância entre os condutores interno e externo.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se a resistência entre o condutor central (raio a) e o condutor coaxial externo (raio b), para um cilindro preenchido por um material com permissividade \varepsilon e condutividade \sigma. O comprimento do cilindro é l com l\gg b.
  • Pede-se também a capacitância entre os condutores interno e externo.
  • Informações fornecidas: os raios \,a e \,b, o comprimento \,l, a permissividade \varepsilon e a condutividade \sigma.
  • Observação importante (tirada do enunciado): como l\gg b, podemos desprezar efeitos de borda nas extremidades e assumir simetria cilíndrica perfeita ao longo do comprimento.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia — por que as equações que vamos usar fazem sentido.
  • Para a resistência elétrica: a corrente de fuga entre os condutores atravessa o dielétrico radialmente (linhas de corrente básicas são radiais). Em cada raio fixo r a área por onde passa a corrente é a superfície cilíndrica de comprimento l e raio r, cuja área é 2\pi r l. O material tem condutividade \sigma (siemens por metro); a resistividade é \rho=1/\sigma.
  • Um elemento cilíndrico de espessura \mathrm{d}r entre r e r+\mathrm{d}r se comporta como um resistor diferencial com área A=2\pi r l e comprimento \mathrm{d}r. A resistência daquele anel é \mathrm{d}R=\rho\,\dfrac{\mathrm{d}r}{A}=\dfrac{1}{\sigma}\dfrac{\mathrm{d}r}{2\pi r l}. Integramos \mathrm{d}R de a a b para obter R.
  • Para a capacitância: usamos o campo elétrico de um condutor cilíndrico carregado (simetria cilíndrica). Pela Lei de Gauss, para carga por unidade de comprimento \lambda o campo elétrico em distância r é E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}. A diferença de potencial entre a e b é V=\int_a^b E(r)\,\mathrm{d}r. A capacitância por comprimento é C'=\dfrac{\lambda}{V} e a capacitância total é C=C' l.

Passo 3

Cálculo da resistência: montar a expressão diferencial e integrar.
  • Resistividade: \rho=\dfrac{1}{\sigma}.
  • Área transversal ao fluxo de corrente no raio r: \,A=2\pi r l.
  • Resistência do anel \mathrm{d}r:
\mathrm{d}R=\rho\frac{\mathrm{d}r}{A}=\frac{1}{\sigma}\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r l}.
  • Integração de r=a até r=b:
R=\int_{a}^{b}\mathrm{d}R=\frac{1}{\sigma 2\pi l}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r}.
  • A integral \int_{a}^{b}\dfrac{\mathrm{d}r}{r}=\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right). Logo,
R=\frac{1}{2\pi\sigma l}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 4

Interpretação curta da expressão de R (para fixar a intuição).
  • Se \sigma aumenta (material mais condutor), R diminui — faz sentido.
  • Se o comprimento l aumenta, a área disponível para corrente aumenta e R diminui (porque A\propto l), daí o 1/l.
  • O fator \ln(b/a) vem da geometria cilíndrica — diferença entre resistores em série de camadas concêntricas.

Passo 5

Cálculo da capacitância: obter E(r) via Gauss e integrar para V.
  • Considere carga por unidade de comprimento \lambda no condutor interno. Pela Lei de Gauss, envolvendo uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento l:
\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad E(r)\cdot(2\pi r l)=\frac{\lambda l}{\varepsilon}.
  • Cancelando l:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}.
  • Diferença de potencial entre os condutores (potencial do interno menos externo):
V=\int_{a}^{b} E(r)\,\mathrm{d}r=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 6

Expressar a capacitância a partir de \lambda e V.
  • Capacitância por unidade de comprimento:
C'=\frac{\lambda}{V}=\frac{\lambda}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Capacitância total para comprimento l:
C=C' l=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Passo 7

Comentário físico sobre as duas fórmulas e conexão entre elas.
  • Observação útil: a presença da condutividade \sigma afeta a resistência DC; a permissividade \varepsilon afeta a capacitância (resposta em regime eletrostático/AC de baixa frequência). Em materiais reais há ambos efeitos: para AC, a impedância complexa envolve tanto \varepsilon quanto \sigma (impedância volumétrica complexa \tilde{\varepsilon}=\varepsilon-j\,\dfrac{\sigma}{\omega}), mas a questão pediu explicitamente resistência (DC) e capacitância (eletrostática), então tratamos separadamente.

Resposta

R=\frac{1}{2\pi\sigma l}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)
C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)}

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