2-) Calcule a resistência entre o condutor central de raio (a) e o condutor coaxial de raio (b) para um cilindro de comprimento
, que está preenchido com um dielétrico de permissividade
e condutividade
. Calcule também a capacitância entre os condutores interno e externo.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se a resistência entre o condutor central (raio
) e o condutor coaxial externo (raio ), para um cilindro preenchido por um material com permissividade e condutividade . O comprimento do cilindro é com . - Pede-se também a capacitância entre os condutores interno e externo.
- Informações fornecidas: os raios
e , o comprimento , a permissividade e a condutividade . - Observação importante (tirada do enunciado): como
, podemos desprezar efeitos de borda nas extremidades e assumir simetria cilíndrica perfeita ao longo do comprimento.
Passo 2
Entendimento físico e estratégia — por que as equações que vamos usar fazem sentido.
- Para a resistência elétrica: a corrente de fuga entre os condutores atravessa o dielétrico radialmente (linhas de corrente básicas são radiais). Em cada raio fixo
a área por onde passa a corrente é a superfície cilíndrica de comprimento e raio , cuja área é . O material tem condutividade (siemens por metro); a resistividade é . - Um elemento cilíndrico de espessura
entre e se comporta como um resistor diferencial com área e comprimento . A resistência daquele anel é . Integramos de a para obter . - Para a capacitância: usamos o campo elétrico de um condutor cilíndrico carregado (simetria cilíndrica). Pela Lei de Gauss, para carga por unidade de comprimento
o campo elétrico em distância é . A diferença de potencial entre e é . A capacitância por comprimento é e a capacitância total é .
Passo 3
Cálculo da resistência: montar a expressão diferencial e integrar.
- Resistividade:
. - Área transversal ao fluxo de corrente no raio
: . - Resistência do anel
:
- Integração de
até :
- A integral
. Logo,
Passo 4
Interpretação curta da expressão de
(para fixar a intuição).
- Se
aumenta (material mais condutor), diminui — faz sentido. - Se o comprimento
aumenta, a área disponível para corrente aumenta e diminui (porque ), daí o . - O fator
vem da geometria cilíndrica — diferença entre resistores em série de camadas concêntricas.
Passo 5
Cálculo da capacitância: obter
via Gauss e integrar para
.
- Considere carga por unidade de comprimento
no condutor interno. Pela Lei de Gauss, envolvendo uma superfície cilíndrica de raio e comprimento :
- Cancelando
:
- Diferença de potencial entre os condutores (potencial do interno menos externo):
Passo 6
Expressar a capacitância a partir de
e
.
- Capacitância por unidade de comprimento:
- Capacitância total para comprimento
:
Passo 7
Comentário físico sobre as duas fórmulas e conexão entre elas.
- Observação útil: a presença da condutividade
afeta a resistência DC; a permissividade afeta a capacitância (resposta em regime eletrostático/AC de baixa frequência). Em materiais reais há ambos efeitos: para AC, a impedância complexa envolve tanto quanto (impedância volumétrica complexa ), mas a questão pediu explicitamente resistência (DC) e capacitância (eletrostática), então tratamos separadamente.