5-) Duas esferas metálicas concêntricas de raios (a) e (b) ( a<b ) estão separadas por um meio que tem constante dielétrica \varepsilon e condutividade \sigma. No instante t=0 uma carga elétrica q é subitamente colocada na esfera interna. (a) Calcule a corrente total através do meio como função do tempo. (b) Calcule o calor produzido por essa corrente e mostre que ele é igual à diminuição da energia eletrostática que ocorre em consequência do rearranjo da carga.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas metálicas concêntricas de raios (a) e (b) com a<b. O espaço entre as esferas é preenchido por um meio que tem constante dielétrica \varepsilon e condutividade \sigma. No instante t=0 coloca-se subitamente uma carga elétrica q na esfera interna. As perguntas são: (a) determinar a corrente total através do meio como função do tempo; (b) calcular o calor produzido por essa corrente e mostrar que ele é igual à diminuição da energia eletrostática provocada pelo rearranjo da carga. \n
Informações relevantes fornecidas:
\;a,\;b,\;\varepsilon,\;\sigma,\;q,\;t=0 com carga q colocada instantaneamente na esfera interna. Não há mais informações faltando para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro precisamos da capacitância entre as duas esferas (é essencial para a dinâmica do problema). Vou deduzir C passo a passo.
Para duas esferas concêntricas, o campo elétrico radial entre as esferas (assumindo que a carga q está na esfera interna) é dado por Lei de Gauss:
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\qquad\text{para }a<r<b.
A diferença de potencial entre as esferas é a integral do campo radial:
V=\int_{b}^{a} E(r)\,dr=\int_{b}^{a}\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\,dr.
Calcule a integral (lembre que \int r^{-2}dr=-r^{-1}):
V=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
A capacitância é C=q/V, então:
C=\frac{q}{V}= \frac{4\pi\varepsilon}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}=\frac{4\pi\varepsilon\,ab}{b-a}.
Explicação do que cada símbolo significa: \varepsilon é a permissividade do meio entre esferas; a,b são os raios; C é a capacitância entre as esferas.

Passo 3

Agora precisamos da resistência ôhmica R do meio entre as esferas (essa resistência representa o caminho condutor para a descarga). Para um meio homogêneo com condutividade \sigma, a resistividade é \rho=1/\sigma. Para uma casca esférica de raio r e espessura dr, a resistência diferencial é
dR=\frac{\rho\,dr}{\text{área}}=\frac{dr}{\sigma\cdot 4\pi r^{2}}.á
Integramos de r=a até r=b:
R=\int_{a}^{b}\frac{dr}{\sigma 4\pi r^{2}}=\frac{1}{4\pi\sigma}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Interpretação: R é a resistência radial entre as duas superfícies esféricas através do meio condutor.

Passo 4

Calcule a constante de tempo \tau = RC. Substitua as expressões de R e C:
RC=\left[\frac{1}{4\pi\sigma}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\right]\left[\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\right].
Repare que \left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{b-a}{ab}, então há cancelamento:
RC=\frac{1}{4\pi\sigma}\cdot\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}\cdot\frac{b-a}{ab}=\frac{\varepsilon}{\sigma}.
Surpresa (e prática útil na prova): a constante de tempo não depende da geometria das esferas — é simplesmente
\tau=\frac{\varepsilon}{\sigma}.
Aqui \tau tem unidade de tempo (como esperado).

Passo 5

Agora escrevemos a equação dinâmica para a descarga do “capacitor” formado pelas esferas através da resistência R. Se q(t) é a carga na esfera interna em tempo t, a diferença de potencial entre as esferas é V(t)=q(t)/C. A corrente que sai da esfera interna é I(t)=-\dfrac{dq}{dt} e também obedece à Lei de Ohm:
I(t)=\frac{V(t)}{R}=\frac{q(t)}{RC}.
Colocando I(t)=-dq/dt obtemos a equação diferencial
-\frac{dq}{dt}=\frac{q}{RC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}.
Solução (equação linear de primeira ordem, separável): integrando,
q(t)=q\,e^{-t/(RC)}.
Usando \tau=RC=\dfrac{\varepsilon}{\sigma}, temos
q(t)=q\,e^{-\sigma t/\varepsilon}.
A corrente (magnitude e sinal convém especificar) é
I(t)=-\frac{dq}{dt}=\frac{q}{RC}e^{-t/(RC)}.
Substituindo RC=\varepsilon/\sigma dá a forma final mais direta:
\boxed{\,I(t)=\frac{q\sigma}{\varepsilon}\,e^{-\sigma t/\varepsilon}\,.}
Interpretação física: a corrente tem decaimento exponencial com constante de tempo \varepsilon/\sigma; a corrente inicial em t=0 é I(0)=q\sigma/\varepsilon.

Passo 6

Calcule o calor Q dissipado no processo. O calor dissipado no resistor é a integral da potência dissipada:
Q=\int_{0}^{\infty} I^{2}(t)\,R\,dt.
Usamos a forma I(t)=\dfrac{q}{RC}e^{-t/(RC)}. Substitua:
Q=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{q}{RC}\right)^{2}e^{-2t/(RC)}R\,dt =\frac{q^{2}}{R C^{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-2t/(RC)}\,dt.
Avalie a integral (use \int_{0}^{\infty}e^{-kt}dt=1/k com k=2/(RC)):
\int_{0}^{\infty}e^{-2t/(RC)}\,dt=\frac{RC}{2}.
Então
Q=\frac{q^{2}}{R C^{2}}\cdot\frac{RC}{2}=\frac{q^{2}}{2C}.
Essa expressão é a mesma que a energia eletrostática inicialmente armazenada no capacitor. De fato a energia eletrostática inicial é
U_{\text{inicial}}=\frac{q^{2}}{2C}.
Qual é a energia final armazenada entre as esferas? Depois de muito tempo, a carga na esfera interna tende a zero ( q(\infty)=0) e toda a carga líquida q está na esfera externa (ou espalhada na superfície externa), portanto no espaço a<r<b o campo elétrico final é zero (pela Lei de Gauss, para a<r<b a carga interna é zero), logo a energia do campo entre as esferas no estado final é zero. Assim a diminuição da energia eletrostática é
\Delta U=U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}}=0-\frac{q^{2}}{2C}=-\frac{q^{2}}{2C}.
Portanto o calor gerado Q é exatamente -\Delta U:
Q=\frac{q^{2}}{2C}=\text{diminuição da energia eletrostática}.çãá
Se quiser a forma explícita em termos de \varepsilon,a,b, usando C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}, obtemos
Q=\frac{q^{2}}{2C}=\frac{q^{2}(b-a)}{8\pi\varepsilon ab}.

Resposta

(a) I(t)=\dfrac{q\sigma}{\varepsilon}\,e^{-\sigma t/\varepsilon}.\n
(b) Q=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{q^{2}(b-a)}{8\pi\varepsilon ab}, que é igual à diminuição da energia eletrostática \Delta U=-\dfrac{q^{2}}{2C}.

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