5-) Duas esferas metálicas concêntricas de raios (a) e (b) (
) estão separadas por um meio que tem constante dielétrica
e condutividade
. No instante
uma carga elétrica
é subitamente colocada na esfera interna. (a) Calcule a corrente total através do meio como função do tempo. (b) Calcule o calor produzido por essa corrente e mostre que ele é igual à diminuição da energia eletrostática que ocorre em consequência do rearranjo da carga.
Passo 1
O enunciado dá duas esferas metálicas concêntricas de raios
e
com
. O espaço entre as esferas é preenchido por um meio que tem constante dielétrica
e condutividade
. No instante
coloca-se subitamente uma carga elétrica
na esfera interna. As perguntas são: (a) determinar a corrente total através do meio como função do tempo; (b) calcular o calor produzido por essa corrente e mostrar que ele é igual à diminuição da energia eletrostática provocada pelo rearranjo da carga. \n
Informações relevantes fornecidas:
com carga
colocada instantaneamente na esfera interna. Não há mais informações faltando para resolver o problema.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro precisamos da capacitância entre as duas esferas (é essencial para a dinâmica do problema). Vou deduzir
passo a passo.
Para duas esferas concêntricas, o campo elétrico radial entre as esferas (assumindo que a carga
está na esfera interna) é dado por Lei de Gauss:
A diferença de potencial entre as esferas é a integral do campo radial:
Calcule a integral (lembre que
):
A capacitância é
, então:
Explicação do que cada símbolo significa:
é a permissividade do meio entre esferas;
são os raios;
é a capacitância entre as esferas.
Passo 3
Agora precisamos da resistência ôhmica
do meio entre as esferas (essa resistência representa o caminho condutor para a descarga). Para um meio homogêneo com condutividade
, a resistividade é
. Para uma casca esférica de raio
e espessura
, a resistência diferencial é
Integramos de
até
:
Interpretação:
é a resistência radial entre as duas superfícies esféricas através do meio condutor.
Passo 4
Calcule a constante de tempo
. Substitua as expressões de
e
:
Repare que
, então há cancelamento:
Surpresa (e prática útil na prova): a constante de tempo não depende da geometria das esferas — é simplesmente
Aqui
tem unidade de tempo (como esperado).
Passo 5
Agora escrevemos a equação dinâmica para a descarga do “capacitor” formado pelas esferas através da resistência
. Se
é a carga na esfera interna em tempo
, a diferença de potencial entre as esferas é
. A corrente que sai da esfera interna é
e também obedece à Lei de Ohm:
Colocando
obtemos a equação diferencial
Solução (equação linear de primeira ordem, separável): integrando,
Usando
, temos
A corrente (magnitude e sinal convém especificar) é
Substituindo
dá a forma final mais direta:
Interpretação física: a corrente tem decaimento exponencial com constante de tempo
; a corrente inicial em
é
.
Passo 6
Calcule o calor
dissipado no processo. O calor dissipado no resistor é a integral da potência dissipada:
Usamos a forma
. Substitua:
Avalie a integral (use
com
):
Então
Essa expressão é a mesma que a energia eletrostática inicialmente armazenada no capacitor. De fato a energia eletrostática inicial é
Qual é a energia final armazenada entre as esferas? Depois de muito tempo, a carga na esfera interna tende a zero (
) e toda a carga líquida
está na esfera externa (ou espalhada na superfície externa), portanto no espaço
o campo elétrico final é zero (pela Lei de Gauss, para
a carga interna é zero), logo a energia do campo entre as esferas no estado final é zero. Assim a diminuição da energia eletrostática é
Portanto o calor gerado
é exatamente
:
Se quiser a forma explícita em termos de
, usando
, obtemos
Resposta
(a)
\n
(b) , que é igual à diminuição da energia eletrostática
.
(b)