Um capacitor com placas paralelas possui capacitância \mathrm{C}=12,5 pF , quando o volume entre as placas é preenchido com ar. As placas são circulares e possuem raio de 3,00 \mathrm{~cm}. O capacitor é conectado a uma bateria, e uma carga de módulo 25,0 \mathrm{pC} vai para cada placa. Com o capacitor ainda ligado à bateria, o dielétrico é inserido entre as placas, preenchendo completamente o espaço entre elas. Após a inserção do dielétrico, a carga em cada placa possui módulo de 45,0 pC.
a) Qual é a constante dielétrica K do dielétrico?
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
\begin{aligned} & \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right) \quad \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \\ & \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) \quad \int \frac{d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\ & \int \frac{x d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\ & \int \frac{d x}{a+b x}=\frac{\ln (a+b x)}{b} \quad \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9,0 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} \\ & \epsilon_{0}=8,854 \times 10^{-12} C^{2} / N \cdot m^{2} \quad e=1,6 \times 10^{-19} \quad C \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
  • Capacitância com ar entre as placas: C=12,5\\ \mathrm{pF}.
  • Placas circulares de raio r=3,00\\ \mathrm{cm}.
  • O capacitor está ligado a uma bateria (portanto a diferença de potencial entre placas permanece fixa enquanto a bateria estiver conectada).
  • Carga nas placas antes da inserção do dielétrico: Q_{\text{antes}}=25,0\\ \mathrm{pC} (módulo por placa).
  • Depois de inserir completamente o dielétrico (com o capacitor ainda ligado à bateria), a carga em cada placa passa a ter módulo Q_{\text{depois}}=45,0\\ \mathrm{pC}.
O que o enunciado pergunta:
a) Qual é a constante dielétrica K do material inserido?
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?

Passo 2

Revisão das fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo e por quê elas valem aqui):
  • Relação carga, capacitância e tensão: \displaystyle Q = C\,V.
    Aqui Q é a carga em cada placa (módulo), C é a capacitância do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas. Essa relação vem da definição de capacitância: a capacitância é a razão entre a carga armazenada e a tensão entre as placas.
  • Efeito do dielétrico na capacitância: \displaystyle C' = K\,C.
    Quando se insere um dielétrico homogêneo entre as placas, a capacitância aumenta multiplicando-se pela constante dielétrica K>1. C é a capacitância com ar (ou vácuo) e C' é a capacitância com o dielétrico.
  • Geometria do capacitor de placas paralelas (placas circulares, separação d pequena): \displaystyle C = \frac{\epsilon_0 A}{d}.
    Aqui A é a área da placa, \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0=8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}) e d é a separação entre as placas. Essa fórmula vale quando as bordas podem ser desprezadas (capacitância ideal de placas paralelas).
  • Área de uma placa circular: \displaystyle A=\pi r^2.
    Convertendo r para metros antes de calcular.
  • Campo elétrico uniforme entre placas e relação com a tensão: \displaystyle E=\frac{V}{d}.
    Em um capacitor de placas paralelas o campo entre as placas é, a boa aproximação, uniforme e igual à diferença de potencial dividida pela separação.
  • Expressão do campo em função da densidade de carga superficial livre \sigma:
    Sem dielétrico: \displaystyle E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} entre as placas (no modelo ideal).
    Com dielétrico homogêneo: \displaystyle E=\frac{\sigma}{\epsilon_0 K} dentro do dielétrico, onde \sigma=Q/A é a densidade de carga livre em cada placa. Essas fórmulas vêm da lei de Gauss e do efeito do dielétrico que reduz o campo interno por um fator K.
Observação física importante (útil para escolher como fazer contas): como o capacitor está ligado à bateria, V permanece constante quando inserimos o dielétrico; portanto Q muda proporcionalmente à capacitância. Isso simplifica a determinação de K.

Passo 3

Encontrar a constante dielétrica K.
Como a bateria mantém V constante, pela relação Q=C\,V e Q'=C'\,V temos
\frac{Q'}{Q}=\frac{C'}{C}=K.
Substituindo os valores numéricos (usando as cargas dadas):
K=\frac{Q_{\text{depois}}}{Q_{\text{antes}}}=\frac{45{,}0\\ \mathrm{pC}}{25{,}0\\ \mathrm{pC}}=\frac{45{,}0}{25{,}0}=1{,}80.
Portanto K=1{,}80.

Passo 4

Calcular a diferença de potencial V entre as placas (antes e depois).
Usamos V=Q/C. Com os valores antes da inserção:
V=\frac{Q_{\text{antes}}}{C}=\frac{25{,}0\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}}{12{,}5\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}}=2{,}00\\ \mathrm{V}.
Como a bateria está conectada, essa tensão não muda quando o dielétrico é inserido. Verificação rápida com os valores depois da inserção: C'=K C=1{,}80\times 12{,}5\\ \mathrm{pF}=22{,}5\\ \mathrm{pF} e
V=\frac{Q_{\text{depois}}}{C'}=\frac{45{,}0\times 10^{-12}}{22{,}5\times 10^{-12}}=2{,}00\\ \mathrm{V},
confirmando que V permanece 2{,}00\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a área A das placas (vai nos permitir obter a separação d a partir de C).
Converter r para metros: r=3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0300\\ \mathrm{m}.
Calcular a área:
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}0300\\ \mathrm{m})^{2}=\pi\times 0{,}000900\\ \mathrm{m^{2}}=0{,}002827433\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Determinar a separação d usando C=\dfrac{\epsilon_{0}A}{d}\Rightarrow d=\dfrac{\epsilon_{0}A}{C}.
Substituindo valores (converter C para farads):
d=\frac{\epsilon_{0}A}{C}=\frac{8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}\times 0{,}002827433\\ \mathrm{m^{2}}}{12{,}5\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\epsilon_{0}A \approx 8{,}854\times 10^{-12}\times 0{,}002827433 \approx 2{,}504\times 10^{-14},
d\approx \frac{2{,}504\times 10^{-14}}{12{,}5\times 10^{-12}} \approx 2{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}00\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular o campo elétrico E no ponto médio entre as placas antes e depois (usar E=V/d e confirmar com \sigma/\epsilon_0 quando apropriado).
Primeiro pelo método direto:
E_{\text{antes}}=\frac{V}{d}=\frac{2{,}00\\ \mathrm{V}}{2{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}}\approx 1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Agora verificação via densidade de carga superficial:
  • Densidade superficial antes: \sigma_{\text{antes}}=\dfrac{Q_{\text{antes}}}{A}=\dfrac{25{,}0\times 10^{-12}}{0{,}002827433}\approx 8{,}85\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Campo sem dielétrico (entre placas, modelo ideal): E_{\text{antes}}=\dfrac{\sigma_{\text{antes}}}{\epsilon_{0}}\approx \dfrac{8{,}85\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}}\approx 1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}, que coincide com V/d.
Com o dielétrico inserido, a densidade de carga livre aumentou (já que Q aumentou), mas o campo dentro do dielétrico seria \displaystyle E_{\text{diel}}=\frac{\sigma_{\text{depois}}}{\epsilon_{0}K}. Calculando:
  • \sigma_{\text{depois}}=\dfrac{45{,}0\times 10^{-12}}{0{,}002827433}\approx 1{,}59\times 10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • \displaystyle E_{\text{depois}}=\frac{\sigma_{\text{depois}}}{\epsilon_{0}K}\approx \frac{1{,}59\times 10^{-8}}{8{,}854\times 10^{-12}\times 1{,}80}\approx 1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Ambas as contas dão o mesmo valor porque a bateria mantém V constante: portanto o campo entre as placas permanece numericamente o mesmo antes e depois da inserção do dielétrico.

Resposta

a) K=1{,}80
b) V_{\text{antes}}=2{,}00\\ \mathrm{V}
V_{\text{depois}}=2{,}00\\ \mathrm{V}
c) E_{\text{antes}}=1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}
E_{\text{depois}}=1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}

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