Um capacitor com placas paralelas possui capacitância
pF , quando o volume entre as placas é preenchido com ar. As placas são circulares e possuem raio de
. O capacitor é conectado a uma bateria, e uma carga de módulo
vai para cada placa. Com o capacitor ainda ligado à bateria, o dielétrico é inserido entre as placas, preenchendo completamente o espaço entre elas. Após a inserção do dielétrico, a carga em cada placa possui módulo de 45,0 pC.
a) Qual é a constante dielétrica K do dielétrico?
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
a) Qual é a constante dielétrica K do dielétrico?
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
- Capacitância com ar entre as placas:
. - Placas circulares de raio
. - O capacitor está ligado a uma bateria (portanto a diferença de potencial entre placas permanece fixa enquanto a bateria estiver conectada).
- Carga nas placas antes da inserção do dielétrico:
(módulo por placa). - Depois de inserir completamente o dielétrico (com o capacitor ainda ligado à bateria), a carga em cada placa passa a ter módulo
.
O que o enunciado pergunta:
a) Qual é a constante dielétrica do material inserido?
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
a) Qual é a constante dielétrica
b) Qual é a diferença de potencial entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
c) Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas antes e depois da inserção do dielétrico?
Passo 2
Revisão das fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo e por quê elas valem aqui):
-
Relação carga, capacitância e tensão:
.
Aquié a carga em cada placa (módulo), é a capacitância do capacitor e é a diferença de potencial entre as placas. Essa relação vem da definição de capacitância: a capacitância é a razão entre a carga armazenada e a tensão entre as placas. -
Efeito do dielétrico na capacitância:
.
Quando se insere um dielétrico homogêneo entre as placas, a capacitância aumenta multiplicando-se pela constante dielétrica. é a capacitância com ar (ou vácuo) e é a capacitância com o dielétrico. -
Geometria do capacitor de placas paralelas (placas circulares, separação
pequena): .
Aquié a área da placa, é a permissividade do vácuo ( ) e é a separação entre as placas. Essa fórmula vale quando as bordas podem ser desprezadas (capacitância ideal de placas paralelas). -
Área de uma placa circular:
.
Convertendopara metros antes de calcular. -
Campo elétrico uniforme entre placas e relação com a tensão:
.
Em um capacitor de placas paralelas o campo entre as placas é, a boa aproximação, uniforme e igual à diferença de potencial dividida pela separação. -
Expressão do campo em função da densidade de carga superficial livre
:
Sem dielétrico:entre as placas (no modelo ideal).
Com dielétrico homogêneo:dentro do dielétrico, onde é a densidade de carga livre em cada placa. Essas fórmulas vêm da lei de Gauss e do efeito do dielétrico que reduz o campo interno por um fator .
Observação física importante (útil para escolher como fazer contas): como o capacitor está ligado à bateria,
permanece constante quando inserimos o dielétrico; portanto
muda proporcionalmente à capacitância. Isso simplifica a determinação de
.
Passo 3
Encontrar a constante dielétrica
.
Como a bateria mantém
constante, pela relação
e
temos
Substituindo os valores numéricos (usando as cargas dadas):
Portanto
.
Passo 4
Calcular a diferença de potencial
entre as placas (antes e depois).
Usamos
. Com os valores antes da inserção:
Como a bateria está conectada, essa tensão não muda quando o dielétrico é inserido. Verificação rápida com os valores depois da inserção:
e
confirmando que
permanece
.
Passo 5
Calcular a área
das placas (vai nos permitir obter a separação
a partir de
).
Converter
para metros:
.
Calcular a área:
Passo 6
Determinar a separação
usando
.
Substituindo valores (converter
para farads):
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 7
Calcular o campo elétrico
no ponto médio entre as placas antes e depois (usar
e confirmar com
quando apropriado).
Primeiro pelo método direto:
Agora verificação via densidade de carga superficial:
- Densidade superficial antes:
. - Campo sem dielétrico (entre placas, modelo ideal):
, que coincide com .
Com o dielétrico inserido, a densidade de carga livre aumentou (já que
aumentou), mas o campo dentro do dielétrico seria
. Calculando:
-
. -
Ambas as contas dão o mesmo valor porque a bateria mantém
constante: portanto o campo entre as placas permanece numericamente o mesmo antes e depois da inserção do dielétrico.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)