No espaço, uma forma de “pesar” os astronautas é utilizando um sistema MHS da seguinte forma: Uma cadeira de 42,5 \mathrm{~kg} é presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,3 \mathrm{~s} para realizar uma oscilação completa. Quando o astronauta senta nela, sem tocar os pés no chão, a cadeira leva 2,54 \mathrm{~s} para realizar uma oscilação completa. Como podemos calcular a massa do astronauta? Quanto vale essa massa?

Passo 1

O enunciado dá uma cadeira de massa \,42{,}5\\ \mathrm{kg} presa a uma mola e informa dois períodos de oscilação:
\,T_1=1{,}3\\ \mathrm{s} quando a cadeira está vazia (só a cadeira),
\,T_2=2{,}54\\ \mathrm{s} quando o astronauta está sentado na cadeira (cadeira + astronauta), sem tocar no chão.
A pergunta é: qual é a massa do astronauta?
Informações relevantes listadas:
\,m_{\text{cadeira}}=42{,}5\\ \mathrm{kg}, \,T_1=1{,}3\\ \mathrm{s}, \,T_2=2{,}54\\ \mathrm{s}.
O que precisamos entregar: a massa do astronauta \,m_{\text{astronauta}}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona período, massa e constante da mola: para um sistema massa-mola oscilando livremente, o período \,T é dado por
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Expliquei o que cada símbolo significa:
\,T é o período (tempo de uma oscilação completa),
\,m é a massa que está oscilando (no nosso caso: cadeira sozinha ou cadeira+astronauta),
\,k é a constante elástica da mola (medida de “rigidez” da mola),
\,\pi é a constante matemática \approx 3{,}1416.
Esse é um resultado padrão de movimento harmônico simples; a ideia é que massa maior ou mola mais fraca dão oscilações mais lentas (maior período).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso da cadeira vazia para relacionar \,k e \,m_{\text{cadeira}}. Usando \,T_1=2\pi\sqrt{m_{\text{cadeira}}/k}, isolamos \,k:
T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}}{k}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}}{k}}=\frac{T_1}{2\pi}
e elevando ao quadrado,
\frac{m_{\text{cadeira}}}{k}=\left(\frac{T_1}{2\pi}\right)^{2} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{4\pi^{2}m_{\text{cadeira}}}{T_1^{2}}.
Aqui eu mostrei passo a passo como isolar \,k: primeiro dividi por 2\pi, depois elevei ao quadrado, e resolvi para \,k.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso com o astronauta: o sistema agora tem massa \,m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}} e período \,T_2:
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}}}{k}}.
Agora substituímos a expressão de \,k obtida no Passo 3 para eliminar \,k e resolver diretamente para \,m_{\text{astronauta}}. Fazendo isso:
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}}}{\dfrac{4\pi^{2}m_{\text{cadeira}}}{T_1^{2}}}} =2\pi\sqrt{\frac{T_1^{2}(m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}})}{4\pi^{2}m_{\text{cadeira}}}}.
Simplificando o fator 2\pi com 4\pi^{2} dentro da raiz:
T_2 = 2\pi\cdot\frac{T_1}{2\pi}\sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}}}{m_{\text{cadeira}}}} = T_1\sqrt{\frac{m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}}}{m_{\text{cadeira}}}}.
Então elevando ao quadrado:
\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}=\frac{m_{\text{cadeira}}+m_{\text{astronauta}}}{m_{\text{cadeira}}}.
Isolando \,m_{\text{astronauta}}:
m_{\text{astronauta}}=m_{\text{cadeira}}\left(\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}-1\right).
Essa fórmula é prática: não precisamos calcular \,k explicitamente, basta usar os dois períodos dados.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (todos os números sempre escritos em TeX):
m_{\text{cadeira}}=42{,}5\\ \mathrm{kg},\qquad T_1=1{,}3\\ \mathrm{s},\qquad T_2=2{,}54\\ \mathrm{s}.
Calcular \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) e seu quadrado:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{2{,}54}{1{,}3}\approx 1{,}953846,
\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}\approx 1{,}953846^{2}\approx 3{,}81753.
Agora usar a fórmula do Passo 4:
m_{\text{astronauta}}=42{,}5\left(3{,}81753-1\right)=42{,}5\times 2{,}81753.
Fazendo a multiplicação (mostro em duas partes para facilitar na prova):
42{,}5\times 2 = 85{,}0,
42{,}5\times 0{,}81753 \approx 34{,}745,
somando,
m_{\text{astronauta}}\approx 85{,}0 + 34{,}745 = 119{,}745\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação: é razoável apresentar a massa com duas casas decimais ou com três algarismos significativos. Arredondando para duas casas decimais obtemos
m_{\text{astronauta}}\approx 119{,}75\\ \mathrm{kg}.
Isso significa que o astronauta (com roupas/equipamento se considerados) tem massa próxima de \,120\\ \mathrm{kg}. Se você quiser, na prova pode dar a resposta com uma casa decimal \,119{,}7\\ \mathrm{kg} ou com três algarismos significativos; o importante é mostrar o raciocínio (a fórmula do período e a razão dos quadrados dos períodos).

Resposta

\displaystyle m_{\text{astronauta}} \approx 119{,}75\\ \mathrm{kg}

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