0 valor da integral de linha em torno do caminho fechado da figura, percorrido no sentido horar é 4 \pi .10^{-7} \mathrm{Tm}. Qual é a direção e a magnitude da corrente I? Use \mu_{0}= 4 \pi .10^{-5} \mathrm{Tm} / \mathrm{A}. Se a integral fosse feita percorrendo o caminho no sentido anti-horário (supondo que o valor da integral permanecesse o mesmo), isso afetaria seu resultado?

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{T\,m},
o caminho fechado é percorrido no sentido horário e foi dada a constante
\mu_{0}=4\pi\cdot10^{-5}\\ \mathrm{T\,m/A}.
O que o enunciado pede:
  • encontrar a magnitude e a direção da corrente I envolvida;
  • dizer se mudar o sentido de percurso do caminho para anti-horário (supondo que o valor numérico da integral permanecesse o mesmo) afetaria o resultado.

Passo 2

A fórmula que relaciona a integral de linha do campo magnético ao valor da corrente envolvida é a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde:
  • \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} é a integral de linha do campo magnético ao longo do caminho fechado (unidade \mathrm{T\,m});
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (unidade \mathrm{T\,m/A});
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a superfície cercada pelo caminho (unidade A).
Interpretação física e regra da mão direita (didático e prático):
  • A regra prática: coloque o polegar da mão direita apontando na direção da corrente I; os dedos enrolam na direção do campo magnético \mathbf{B} ao redor do fio.
  • Assim, se a corrente aponta para fora da página, o campo circula no sentido anti-horário; se a corrente aponta para dentro da página, o campo circula no sentido horário.
  • O sinal da integral \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} depende do sentido em que você percorre o caminho. Mudar o sentido do percurso troca o sinal da integral (em condições normais, quando \mathbf{B} não muda).

Passo 3

Aplicamos a Lei de Ampère para achar I:
I_{\text{enc}}=\frac{\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}}{\mu_{0}}.
Substituindo os valores dados:
I_{\text{enc}}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}}{4\pi\cdot10^{-5}}\\ \mathrm{A}.
Corta os fatores 4\pi e subtrai os expoentes de 10:
I_{\text{enc}}=10^{-7-(-5)}\\ \mathrm{A}=10^{-2}\\ \mathrm{A}.
Em notação decimal:
I_{\text{enc}}=0{,}01\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Determinar a direção da corrente a partir do sinal e do sentido do percurso:
  • Foi informado que a integral ao percorrer o caminho no sentido horário vale +4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{T\,m} (valor positivo).
  • Pela regra da mão direita: se a corrente aponta para dentro da página (distante do observador), o campo \mathbf{B} circula no sentido horário ao redor da corrente. Portanto, um resultado positivo para a integral ao percorrer o caminho no sentido horário corresponde a uma corrente apontando para dentro da página.
  • Conclusão: a direção da corrente é para dentro da página (ou seja, no sentido oposto ao observador).

Passo 5

Sobre mudar o sentido do percurso para anti-horário:
  • Em condições normais, inverter o sentido de percurso inverte o sinal da integral \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}. Assim, se originalmente \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=+4\pi\cdot10^{-7} percorrendo no sentido horário, então percorrendo no sentido anti-horário esperaríamos \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=-4\pi\cdot10^{-7}. Isso mudaria o sinal da corrente calculada (ou seja, a direção inferida), mantendo a mesma magnitude 0{,}01\\ \mathrm{A}.
  • Se, hipoteticamente, ao percorrer no sentido anti-horário o enunciado dissesse que a integral numericamente permanecesse +4\pi\cdot10^{-7} (sem trocar de sinal), isso seria inconsistente com a simples troca de orientação do caminho — significaria que ou o campo \mathbf{B} mudou de sentido entre as medições ou houve alguma outra alteração nas condições. Em termos práticos de cálculo com a Lei de Ampère: a magnitude da corrente continuaria a ser 0{,}01\\ \mathrm{A}, mas a inferência sobre a direção dependeria do sinal da integral relativo ao sentido escolhido; trocar o sentido do percurso (e portanto trocar o sinal da integral) inverte a direção inferida da corrente.

Resposta

I=0{,}01\\ \mathrm{A}, direção: para dentro da página (sentido afastando-se do observador).\nMudar o sentido do percurso inverte o sinal da integral e, portanto, inverte a direção inferida da corrente; a magnitude permanece 0{,}01\\ \mathrm{A}.

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