Um capacitor de placas paralelas tem uma área das placas de
e uma distância entre as placas de
. Uma bateria é usada para carregar as placas com uma diferença de potencial de 120 V e em seguida é removida do circuito. Um dielétrico com
de espessura e constante dielétrica 4,8 é introduzido simetricamente entre as placas. (a) Qual é a capacitância antes da introdução do dielétrico? (b) Qual é a capacitância após a introdução do dielétrico? (c) Qual é a carga das placas antes da introdução do dielétrico? (d) Qual é a carga das placas após da introdução do dielétrico? (e) Qual é o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico? (f) Qual é o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico? (g) Qual é a diferença de potencial entre as placas após a introdução do dielétrico? (h) Qual é o trabalho envolvido na introdução do dielétrico?
Passo 1
O enunciado pede várias quantidades sobre um capacitor de placas paralelas quando um dielétrico é introduzido depois que o capacitor foi carregado e a bateria foi removida. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede (tirei os números do enunciado):
Dados:
- Área das placas:
. - Separação entre as placas:
. - Tensão aplicada inicialmente (bateria):
. A bateria é removida após carregar o capacitor. - Dielétrico: espessura
, constante dielétrica . O dielétrico é inserido simetricamente entre as placas (ou seja, fica centralizado, sobrando dois espaços de vácuo, um em cada lado, de mesmo espessura).
O enunciado pede:
(a) capacitância antes do dielétrico;
(b) capacitância após a introdução do dielétrico;
(c) carga nas placas antes da introdução do dielétrico;
(d) carga nas placas após a introdução do dielétrico;
(e) módulo do campo elétrico no espaço de vácuo entre as placas (as regiões sem dielétrico) depois da inserção;
(f) módulo do campo elétrico no interior do dielétrico depois da inserção;
(g) diferença de potencial entre as placas após a inserção;
(h) trabalho envolvido na introdução do dielétrico.
(a) capacitância antes do dielétrico;
(b) capacitância após a introdução do dielétrico;
(c) carga nas placas antes da introdução do dielétrico;
(d) carga nas placas após a introdução do dielétrico;
(e) módulo do campo elétrico no espaço de vácuo entre as placas (as regiões sem dielétrico) depois da inserção;
(f) módulo do campo elétrico no interior do dielétrico depois da inserção;
(g) diferença de potencial entre as placas após a inserção;
(h) trabalho envolvido na introdução do dielétrico.
Observações importantes para a resolução (serão usadas nos próximos passos):
- Como a bateria é removida antes da inserção do dielétrico, a carga livre
no capacitor permanece constante durante a inserção. - Para um capacitor de placas paralelas sem dielétrico vale
, onde é a permissividade do vácuo ( ). - Com camadas planas em série (vácuo + dielétrico + vácuo) a capacitância equivalente é dada por somar as capacitâncias como resistências em série; formula equivalente conveniente será deduzida adiante.
Passo 2
(a) Calcular a capacitância antes da introdução do dielétrico.
Fórmula básica para capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Passo 3
(b) Calcular a capacitância após a introdução do dielétrico (dielétrico central, espessura
).
Modelo físico: o sistema fica com três camadas em série na direção do campo: vácuo de espessura
, dielétrico de espessura
, e novamente vácuo de espessura
. Todas as camadas têm a mesma área
, então as capacitâncias parciais são:
Essas três estão em série, portanto
Como
, somando as duas contribuições de vácuo obtemos
Assim é mais simples escrever:
Agora substituímos números:
Usando
(calculado antes),
Passo 4
(c) e (d) Cargas antes e depois da introdução do dielétrico.
Quando o capacitor foi ligado à bateria
ele atingiu carga
A bateria foi removida antes da inserção do dielétrico, então a carga livre
permanece constante durante a inserção. Portanto:
- carga antes da introdução:
, - carga depois da introdução:
(mesmo valor).
Calcule numericamente:
Aproximando com três algarismos significativos:
Passo 5
(e) e (f) Campos elétricos nas regiões de vácuo e no interior do dielétrico após a inserção.
Relação entre densidade de carga superficial livre
e carga
:
Com
conhecido, o campo nas regiões planas é dado por:
- no vácuo (camadas sem dielétrico):
(módulo), - no dielétrico (região com constante
): .
Calcule
:
Agora os campos:
Interpretação física rápida: como
é o mesmo e o dielétrico reduz o campo local dentro dele (por causa da polarização), o campo no dielétrico é menor que no vácuo; os dois valores acima são coerentes com isso.
Passo 6
(g) Diferença de potencial entre as placas após a introdução do dielétrico.
A diferença de potencial total é a soma das quedas de potencial nas três camadas (duas de vácuo + uma de dielétrico). Como os campos são constantes em cada camada:
Substituindo valores numéricos:
Observação:
porque a capacitância aumentou ao inserir o dielétrico enquanto
permaneceu constante.
Passo 7
(h) Trabalho envolvido na introdução do dielétrico (energia).
Energia armazenada em um capacitor quando a carga
é mantida fixa é
Como a carga é constante, a mudança de energia ao inserir o dielétrico é
Como
, o termo entre parênteses é negativo, então
: a energia armazenada diminui. Isso significa que o campo elétrico realizou trabalho sobre o dielétrico (o dielétrico é atraído para dentro), portanto o trabalho realizado pelo agente externo para inserir o dielétrico é negativo (o agente precisa segurar para impedir que o dielétrico seja puxado com ganho de energia).
Calcule numericamente:
Valores das capacitâncias já obtidos:
Agora
Interpretação do sinal:
significa que a energia do campo diminuiu em
. Esse é o trabalho realizado pelo campo sobre o dielétrico. O trabalho realizado pelo agente externo para inserir o dielétrico é igual a
(negativo), ou seja,
. Se preferir o módulo do trabalho (energia trocada) é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) (trabalho realizado pelo agente externo; o campo realizou
sobre o dielétrico)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)