Dois capacitores de placas paralelas, ambos com uma capacitância de 6,0 \mu \mathrm{F}, são ligados em série a uma bateria de 10 V ; em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade.(a) Qual é o valor da carga adicional transferida para os capacitores pela bateria em consequência da mudança? (b) Qual é o aumento da carga total armazenada nos capacitores (a soma da carga armazenada na placa positiva de um dos capacitores com a carga armazenada na placa positiva do outro capacitor)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado). Dados:
  • Dois capacitores de placas paralelas com capacitância inicial de C_0 = 6{,}0\,\mu\mathrm{F} cada um.
  • Estão ligados em série a uma bateria de V = 10\,\mathrm{V}.
  • Em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade (isto altera a capacitância desse capacitor).
    O enunciado pede:
    (a) o valor da carga adicional transferida para os capacitores pela bateria em consequência da mudança;
    (b) o aumento da carga total armazenada nos capacitores (isto é, a soma das cargas nas placas positivas dos dois capacitores).

Passo 2

Entender como a capacitância muda ao alterar a distância entre as placas (aula rápida e prática).
  • Para um capacitor de placas paralelas vale a fórmula
C = \varepsilon \frac{A}{d},
onde C é a capacitância, \varepsilon é a permissividade do meio, A é a área das placas e d é a distância entre elas. Aqui A e \varepsilon permanecem constantes.
  • Se a distância d é reduzida à metade, a nova capacitância dobra:
\text{se } d\to \tfrac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad C\to 2C.
Portanto, o capacitor cujo espaçamento foi reduzido passa de C_0 para
C_1 = 2C_0.

Passo 3

Relembrando como capacitores em série se comportam (passo-a-passo):
  • Para dois capacitores em série com capacitâncias C_a e C_b, a capacitância equivalente C_{\text{eq}} satisfaz
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}.
  • A carga em cada capacitor em série tem a mesma magnitude Q (isto é uma propriedade importante: em série, a mesma carga passa por ambos).
  • Quando estão ligados a uma bateria de tensão V, a carga comum vale
Q = C_{\text{eq}}\,V.

Passo 4

Calcular a situação inicial (antes da mudança):
  • Ambos os capacitores têm C_0 = 6{,}0\,\mu\mathrm{F}. Então
\frac{1}{C_{\text{eq,\,inicial}}}=\frac{1}{C_0}+\frac{1}{C_0}=\frac{2}{C_0}
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C_{\text{eq,\,inicial}}=\frac{C_0}{2}.
  • Substituindo C_0:
C_{\text{eq,\,inicial}}=\frac{6{,}0\,\mu\mathrm{F}}{2}=3{,}0\,\mu\mathrm{F}.
  • A carga comum inicial é
Q_{\text{inicial}}=C_{\text{eq,\,inicial}}\,V=(3{,}0\,\mu\mathrm{F})(10\,\mathrm{V})=30{,}0\,\mu\mathrm{C}.
(ou seja, cada capacitor tem magnitude de carga 30{,}0\,\mu\mathrm{C} nas suas placas relevantes).

Passo 5

Calcular a situação final (após reduzir a distância de um capacitor à metade):
  • Um capacitor fica com C_1=2C_0 e o outro permanece C_0. Com números:
C_1=2\cdot 6{,}0\,\mu\mathrm{F}=12{,}0\,\mu\mathrm{F}, \qquad C_2=C_0=6{,}0\,\mu\mathrm{F}.
  • Capacitância equivalente final:
\frac{1}{C_{\text{eq,\,final}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{12{,}0}+\frac{1}{6{,}0}\quad(\mu\mathrm{F}^{-1}).
Calculemos de forma simples (fazendo em \mu\mathrm{F}):
\frac{1}{C_{\text{eq,\,final}}}=\frac{1}{12{,}0}+\frac{1}{6{,}0}=\frac{1}{12{,}0}+\frac{2}{12{,}0}=\frac{3}{12{,}0}=\frac{1}{4{,}0}.
Portanto
C_{\text{eq,\,final}}=4{,}0\,\mu\mathrm{F}.
  • A carga comum final é
Q_{\text{final}}=C_{\text{eq,\,final}}\,V=(4{,}0\,\mu\mathrm{F})(10\,\mathrm{V})=40{,}0\,\mu\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a carga adicional fornecida pela bateria (resposta do item (a)):
  • A bateria mantém a tensão fixa; quando a capacitância equivalente aumenta, a carga necessária para manter V aumenta. A carga adicional fornecida pela bateria é a diferença
\Delta Q_{\text{bateria}}=Q_{\text{final}}-Q_{\text{inicial}}=40{,}0\,\mu\mathrm{C}-30{,}0\,\mu\mathrm{C}=10{,}0\,\mu\mathrm{C}.
Interpretação física curta: essa \Delta Q saiu da bateria e foi para as placas externas do conjunto de capacitores.

Passo 7

Calcular o aumento da carga total armazenada nas placas positivas dos dois capacitores (resposta do item (b)):
  • Em série, a magnitude da carga em cada capacitor é igual a Q. A carga armazenada na placa positiva de cada capacitor tem magnitude igual a Q. Assim, a soma das cargas nas placas positivas dos dois capacitores é
Q_{\text{total}}^{(+)}=Q_{\text{capacitor 1}}+Q_{\text{capacitor 2}}=Q+Q=2Q.
  • Inicialmente:
Q_{\text{total,\,inicial}}^{(+)}=2Q_{\text{inicial}}=2\cdot 30{,}0\,\mu\mathrm{C}=60{,}0\,\mu\mathrm{C}.
  • Finalmente:
Q_{\text{total,\,final}}^{(+)}=2Q_{\text{final}}=2\cdot 40{,}0\,\mu\mathrm{C}=80{,}0\,\mu\mathrm{C}.
  • O aumento da carga total armazenada é
\Delta Q_{\text{total}}^{(+)}=Q_{\text{total,\,final}}^{(+)}-Q_{\text{total,\,inicial}}^{(+)}=80{,}0\,\mu\mathrm{C}-60{,}0\,\mu\mathrm{C}=20{,}0\,\mu\mathrm{C}.

Passo 8

Checagem rápida e comentário final:
  • A carga adicional que a bateria forneceu é 10{,}0\,\mu\mathrm{C}, e como existem duas placas positivas (uma em cada capacitor) a soma das cargas positivas aumentou em 2 vezes essa diferença, dando 20{,}0\,\mu\mathrm{C}. Faz sentido físico: a bateria fornece carga para as duas extremidades do conjunto em série.

Resposta

(a) 10{,}0\,\mu\mathrm{C}
(b) 20{,}0\,\mu\mathrm{C}

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