Um disco de espessura
tem um raio
e um furo central de raio
. Considerando a condutividade do disco
, determine a resistência e a condutância entre:
(b) entre as duas faces planas do disco.
(b) entre as duas faces planas do disco.
Passo 1
O enunciado pede a resistência e a condutância entre as duas faces planas de um disco de espessura
, raio externo
e furo central de raio
. A condutividade do material é
. Dados relevantes:
Perguntas: qual a resistência entre as faces planas e qual a condutância correspondente?
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicação didática): a corrente flui perpendicularmente de uma face plana para a outra através da espessura
. Como o disco tem um furo central, a área disponível para corrente é a área anular entre raios
e
. Se
é uniforme e as faces são totalmente cobertas pelos eletrodos, o campo elétrico
pode ser considerado uniforme ao longo da espessura e paralelo à espessura. Nesse caso o problema reduz-se a um resistor cilíndrico (anel) de comprimento
e área de seção transversal constante dada por:
Passo 3
Lei local de Ohm (explicação e definições): em meios contínuos a relação entre densidade de corrente
(unidade:
) e campo elétrico
(unidade:
) é
onde
é a condutividade (unidade:
). Para campos uniformes, a magnitude da densidade de corrente é
.
Passo 4
Relação entre
e a diferença de potencial
(passo prático): se aplicamos uma tensão
entre as faces separadas por
e o campo é praticamente uniforme, então
Substituindo na lei de Ohm local:
Como
é aproximadamente constante na seção anular, a corrente total é
Passo 5
Definição de resistência e derivação (usar
): a resistência entre as faces é
Agora substituímos
para obter a expressão final para
:
Aqui cada símbolo significa:
em ohms (
),
em metros,
em siemens por metro,
em metros.
Passo 6
Condutância e checagem (inverso de
e verificação): a condutância
é o inverso da resistência, portanto
Cheque rápido de unidades:
(
) vezes
(
) dividido por
(
) dá
, que é unidade correta de condutância. Exemplo de verificação: se
(disco sem furo) recuperamos
, que é a fórmula esperada para um cilindro de seção circular.