Um disco de espessura t tem um raio b e um furo central de raio a. Considerando a condutividade do disco \sigma, determine a resistência e a condutância entre:
(b) entre as duas faces planas do disco.

Passo 1

O enunciado pede a resistência e a condutância entre as duas faces planas de um disco de espessura t, raio externo b e furo central de raio a. A condutividade do material é \sigma. Dados relevantes:
t,\quad a,\quad b,\quad \sigma
Perguntas: qual a resistência entre as faces planas e qual a condutância correspondente?

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática): a corrente flui perpendicularmente de uma face plana para a outra através da espessura t. Como o disco tem um furo central, a área disponível para corrente é a área anular entre raios a e b. Se \sigma é uniforme e as faces são totalmente cobertas pelos eletrodos, o campo elétrico \mathbf{E} pode ser considerado uniforme ao longo da espessura e paralelo à espessura. Nesse caso o problema reduz-se a um resistor cilíndrico (anel) de comprimento t e área de seção transversal constante dada por:
A = \pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 3

Lei local de Ohm (explicação e definições): em meios contínuos a relação entre densidade de corrente \mathbf{J} (unidade: \mathrm{A/m^{2}}) e campo elétrico \mathbf{E} (unidade: \mathrm{V/m}) é
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade (unidade: \mathrm{S/m}). Para campos uniformes, a magnitude da densidade de corrente é J=\sigma E.

Passo 4

Relação entre E e a diferença de potencial V (passo prático): se aplicamos uma tensão \,V entre as faces separadas por t e o campo é praticamente uniforme, então
E=\frac{V}{t}.
Substituindo na lei de Ohm local:
J=\sigma\frac{V}{t}.
Como J é aproximadamente constante na seção anular, a corrente total é
I=J\,A=\sigma\frac{V}{t}\,A.

Passo 5

Definição de resistência e derivação (usar R=V/I): a resistência entre as faces é
R=\frac{V}{I}=\frac{V}{\sigma\frac{V}{t}A}=\frac{t}{\sigma A}.
Agora substituímos A=\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr) para obter a expressão final para R:
R=\frac{t}{\sigma\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}.
Aqui cada símbolo significa: R em ohms ( \Omega), t em metros, \sigma em siemens por metro, a,b em metros.

Passo 6

Condutância e checagem (inverso de R e verificação): a condutância G é o inverso da resistência, portanto
G=\frac{1}{R}=\frac{\sigma\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{t}.
Cheque rápido de unidades: \sigma ( \mathrm{S/m}) vezes b^{2}-a^{2} ( \mathrm{m^{2}}) dividido por t ( \mathrm{m}) dá \mathrm{S}, que é unidade correta de condutância. Exemplo de verificação: se a=0 (disco sem furo) recuperamos R=\dfrac{t}{\sigma\pi b^{2}}, que é a fórmula esperada para um cilindro de seção circular.

Resposta

R=\frac{t}{\sigma\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}
G=\frac{\sigma\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{t}

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