Um capacitor de placas paralelas tem placas quadradas com lados de 10 cm de comprimento e uma separação
. Uma lâmina dielétrica de constante
tem dimensões de
(cm. a) Qual é a capacitância sem o dielétrico? b) Qual é a capacitância se o dielétrico preencher o espaço entre as placas? c) Qual será a capacitância se uma lâmina dielétrica com dimensões
cm for inserida no espacamento de
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre capacitores de placas paralelas. A questão envolve entender como a capacitância de um capacitor muda quando inserimos um material dielétrico entre suas placas. Para resolver isso, vamos precisar saber:
- Capacitância de um capacitor de placas paralelas: Uma medida de quanto carga o capacitor pode armazenar por unidade de potencial elétrico.
- Fórmula da capacitância sem dielétrico e com dielétrico.
- Propriedades geométricas do capacitor: tamanho das placas e distância entre elas.
- Constante dielétrica (κ): indica quanto o dielétrico pode aumentar a capacitância.
Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar a capacitância sem o dielétrico.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da capacitância para placas paralelas sem dielétrico:
Onde:
- $ C $ é a capacitância,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo (
), - $ A $ é a área de uma das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
Temos que as placas são quadradas com lados de 10 cm, então a área $ A $ é:
A distância $ d $ entre as placas é 4,0 mm, que convertendo para metros fica:
Agora, substituímos na fórmula da capacitância:
Convertendo para picofarad (1 F =
pF):
Passo 3
Parte b): Agora, queremos a capacitância com o dielétrico preenchendo todo o espaço entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico entre as placas, a capacitância aumenta e é dada por:
Onde $ \kappa $ é a constante dielétrica. Aqui, $ \kappa = 2,0 $.
Usando os mesmos valores de $ A $ e $ d $ que calculamos na parte a):
Convertendo para picofarad:
Passo 4
Parte c): Agora, queremos a capacitância com uma lâmina dielétrica de dimensões 10 cm × 10 cm × 3,0 cm inserida no espaço de 4,0 cm.
Aqui, a lâmina dielétrica não preenche todo o espaço entre as placas; apenas uma parte está cheia com dielétrico e o restante está no ar. Vamos considerar que o capacitor agora é equivalente a dois capacitores em série: um com dielétrico e outro sem.
Primeiro, calculamos as capacitâncias individuais:
- Capacitância com dielétrico (parte com 3,0 cm):
Onde $ d_1 = 0,03 , m $.
- Capacitância sem dielétrico (parte com 1,0 cm):
Onde $ d_2 = 0,01 , m $.
Calculando $ C_1 $:
Calculando $ C_2 $:
Como os capacitores estão em série, a capacitância total $ C_{total} $ é dada por:
Substituindo os valores:
Então:
Convertendo para picofarad:
Resposta
a) A capacitância sem o dielétrico é aproximadamente 2,21 pF.
b) A capacitância com o dielétrico preenchendo o espaço é aproximadamente 4,42 pF.
c) A capacitância com a lâmina dielétrica de 3,0 cm inserida é aproximadamente 3,55 pF.