Um capacitor de placas paralelas tem placas quadradas com lados de 10 cm de comprimento e uma separação d=4,0 mm. Uma lâmina dielétrica de constante kappa=2,0 tem dimensões de 10 cm times 10 cm times 4,0 (cm. a) Qual é a capacitância sem o dielétrico? b) Qual é a capacitância se o dielétrico preencher o espaço entre as placas? c) Qual será a capacitância se uma lâmina dielétrica com dimensões 10 cm times 10 cm times 3,0 cm for inserida no espacamento de 4,0 cm?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre capacitores de placas paralelas. A questão envolve entender como a capacitância de um capacitor muda quando inserimos um material dielétrico entre suas placas. Para resolver isso, vamos precisar saber:
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas: Uma medida de quanto carga o capacitor pode armazenar por unidade de potencial elétrico.
  • Fórmula da capacitância sem dielétrico e com dielétrico.
  • Propriedades geométricas do capacitor: tamanho das placas e distância entre elas.
  • Constante dielétrica (κ): indica quanto o dielétrico pode aumentar a capacitância.
Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar a capacitância sem o dielétrico.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da capacitância para placas paralelas sem dielétrico:
C = varepsilon0 Ad
Onde:
  • $ C $ é a capacitância,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ( C ),
  • $ A $ é a área de uma das placas,
  • $ d $ é a distância entre as placas.
Temos que as placas são quadradas com lados de 10 cm, então a área $ A $ é:
varepsilon0
A distância $ d $ entre as placas é 4,0 mm, que convertendo para metros fica:
8,85 times 10^-12 , F/m
Agora, substituímos na fórmula da capacitância:
A
Convertendo para picofarad (1 F = d pF):
A

Passo 3

Parte b): Agora, queremos a capacitância com o dielétrico preenchendo todo o espaço entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico entre as placas, a capacitância aumenta e é dada por:
C = kappa varepsilon0 Ad
Onde $ \kappa $ é a constante dielétrica. Aqui, $ \kappa = 2,0 $.
Usando os mesmos valores de $ A $ e $ d $ que calculamos na parte a):
kappa
Convertendo para picofarad:
kappa = 2,0

Passo 4

Parte c): Agora, queremos a capacitância com uma lâmina dielétrica de dimensões 10 cm × 10 cm × 3,0 cm inserida no espaço de 4,0 cm.
Aqui, a lâmina dielétrica não preenche todo o espaço entre as placas; apenas uma parte está cheia com dielétrico e o restante está no ar. Vamos considerar que o capacitor agora é equivalente a dois capacitores em série: um com dielétrico e outro sem.
Primeiro, calculamos as capacitâncias individuais:
  1. Capacitância com dielétrico (parte com 3,0 cm):
C1 = kappa varepsilon0 Ad1
Onde $ d_1 = 0,03 , m $.
  1. Capacitância sem dielétrico (parte com 1,0 cm):
d1 = 0,03 , m
Onde $ d_2 = 0,01 , m $.
Calculando $ C_1 $:
C2 = varepsilon0 Ad2
Calculando $ C_2 $:
d2 = 0,01 , m
Como os capacitores estão em série, a capacitância total $ C_{total} $ é dada por:
C1
Substituindo os valores:
C1 = 2,0 times 8,85 times 10^-12 , F/m times 0,01 , m^20,03 , m = 5,90 times 10^-12 , F
Então:
C2
Convertendo para picofarad:
C2 = 8,85 times 10^-12 , F/m times 0,01 , m^20,01 , m = 8,85 times 10^-12 , F

Resposta

a) A capacitância sem o dielétrico é aproximadamente 2,21 pF.
b) A capacitância com o dielétrico preenchendo o espaço é aproximadamente 4,42 pF.
c) A capacitância com a lâmina dielétrica de 3,0 cm inserida é aproximadamente 3,55 pF.

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