Um capacitor de placas paralelas tem a região entre suas placas preenchidas por uma chapa dielétrica de permissividade elétrica relativa varepsilonr. As dimensões das placas são: largura w , comprimento l e separação entre as placas d. Carrega-se o capacitor enquanto está conectado a uma diferença de potencial ( De<a varphi ), após o que é desconectado. A chapa dielétrica é parcialmente retirada na dimensão I até que apenas o comprimento x permaneça entre as placas. Despreze os efeitos de deformação do campo E na borda do capacitor. (a) Qual a diferença de potencial no capacitor? (b) Qual a força que tende a recolocar a chapa dielétrica de volta à sua posição original? (18 pontos)

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas (área de cada placa A = w times l, distância entre as placas d) totalmente preenchido por um dielétrico de constante relativa varepsilonr. Enquanto conectado a uma diferença de potencial De<a varphi, o capacitor armazena carga Q. Depois de isolado, o dielétrico é parcialmente retirado de modo que apenas uma faixa de comprimento x (ao longo de l) continua entre as placas. Vamos usar o modelo de dois capacitores em paralelo (região com dielétrico e região com vácuo), conservar Q e empregar o método da energia para obter a força de atração do dielétrico.

Passo 2

Determinar a capacitância equivalente C(x) após retirada parcial do dielétrico.
– Região 1 (dielétrico, comprimento x):
C1 = varepsilon0,varepsilonr,(w,x)d
– Região 2 (vácuo, comprimento l - x):
C2 = varepsilon0,(w,(l - x))d
Como essas duas regiões estão lado a lado e submetidas à mesma tensão, a capacitância total é
C(x) = C1 + C2 = varepsilon0,wd,l(varepsilonr,x + (l - x)r)

Passo 3

Calcular a diferença de potencial De<a varphi(x) quando o dielétrico foi deslocado.
Como o capacitor foi isolado antes de mover o dielétrico, a carga Q fica constante e vale
Q = C0,De<a varphi, C0 = C(l)=varepsilon0,varepsilonr,w,ld
Portanto
De<a varphi(x) = QC(x) = C0,De<a varphiC(x) = De<a varphi;varepsilonr,lvarepsilonr,x + (l - x)

Passo 4

Expressar a energia armazenada U(x) e a força F.
A energia em um capacitor isolado é
U(x) = Q^22,C(x)
A força resultante que tende a puxar o dielétrico para dentro (isto é, a aumentar x) pode ser obtida por
F = -dUdx = -ddxl(Q^22,C(x)r) = Q^22,C(x)^2;dCdx

Passo 5

Calcular dfracdCdx.
Da expressão de C(x) temos
dCdx = varepsilon0,wd,l(varepsilonr - 1r)
Logo,
F = Q^22 ;1l(varepsilon0,wd(varepsilonr,x + l - x)r)^2 ;varepsilon0,wd(varepsilonr-1)

Passo 6

Simplificar a expressão de F.
F = Q^2,(varepsilonr-1),d 2,varepsilon0,w,l(varepsilonr,x + (l - x)r)^2
Podemos ainda substituir Q = C0,De<a varphi = varepsilon0,varepsilonr,w,ld,De<avarphi se quisermos em função de De<avarphi.

Resposta

(a)
De<a varphi(x) = De<a varphi ;varepsilonr,lvarepsilonr,x + (l - x)
(b)
F = Q^2,(varepsilonr-1),d 2,varepsilon0,w,l(varepsilonr,x + (l - x)r)^2

Exercícios relacionados