Um capacitor de placas planas e paralelas de área
possui um material de constante dielétrica
e resistividade
preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial
vale
.
© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um capacitor de placas paralelas, área A, separação d, preenchido por um dielétrico de constante K mas que não é 100% isolante – ele tem resistividade ρ e deixa vazar corrente, descarregando o capacitor. Querem que a gente derive a equação diferencial para Q(t) (a carga nas placas) e resolva, sabendo que em t=0 temos Q(0)=Q₀.
Conteúdo: capacitância, resistividade → resistência, definição de corrente, lei de Ohm, e solução de ODEs de 1ª ordem (decai exponencial).
Conteúdo: capacitância, resistividade → resistência, definição de corrente, lei de Ohm, e solução de ODEs de 1ª ordem (decai exponencial).
Passo 2
Primeiro a gente anota as fórmulas básicas:
- Capacitância de placas paralelas com dielétrico K:
- Resistência do material entre as placas (área A, comprimento d, resistividade ρ):
Passo 3
Agora liga capacitor+resistor: como o dielétrico conduz, forma um “R” em paralelo com o “C”, e a descarga faz corrente sair do capacitor através de R. A corrente de descarga é
(o sinal menos porque Q diminui quando i é positivo para fora).
Passo 4
Pela lei de Ohm, a corrente que vaza é
e a tensão no capacitor é
.
Substituindo:
Substituindo:
Passo 5
Isso é uma ODE linear de 1ª ordem com solução exponencial. A constante τ = R C é o “tempo de descarga”. Logo:
Só falta escrever R C em termos de ρ, ε₀, K: