Um capacitor de placas planas e paralelas de área A possui um material de constante dielétrica K e resistividade rho preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por Q(t) e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial t=0 vale Q0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um capacitor de placas paralelas, área A, separação d, preenchido por um dielétrico de constante K mas que não é 100% isolante – ele tem resistividade ρ e deixa vazar corrente, descarregando o capacitor. Querem que a gente derive a equação diferencial para Q(t) (a carga nas placas) e resolva, sabendo que em t=0 temos Q(0)=Q₀.
Conteúdo: capacitância, resistividade → resistência, definição de corrente, lei de Ohm, e solução de ODEs de 1ª ordem (decai exponencial).

Passo 2

Primeiro a gente anota as fórmulas básicas:
  1. Capacitância de placas paralelas com dielétrico K:
C = varepsilon0,K,Ad
  1. Resistência do material entre as placas (área A, comprimento d, resistividade ρ):
R = rho,dA

Passo 3

Agora liga capacitor+resistor: como o dielétrico conduz, forma um “R” em paralelo com o “C”, e a descarga faz corrente sair do capacitor através de R. A corrente de descarga é
i(t) = -dQdt
(o sinal menos porque Q diminui quando i é positivo para fora).

Passo 4

Pela lei de Ohm, a corrente que vaza é
i(t)=V(t)R
e a tensão no capacitor é -dQdt = 1R,QC Longrightarrow dQdt = -QR,C .
Substituindo:

Passo 5

Isso é uma ODE linear de 1ª ordem com solução exponencial. A constante τ = R C é o “tempo de descarga”. Logo:
dQdt = -1RC,Q Longrightarrow Q(t)=Q0,e^-t/(R,C)
Só falta escrever R C em termos de ρ, ε₀, K:
R,C = l(rho,dAr),l(varepsilon0,K,Adr) = rho,varepsilon0,K

Resposta

boxedQ(t) = Q0,exp!l(-trho,varepsilon0,Kr)

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