Uma linha reta muito longa, carregada uniformemente, possui carga por unidade de comprimento igual a
e está ao longo do eixo
. Uma segunda linha reta carregada longa e uniforme possui carga por unidade de comprimento igual a
e está paralela ao eixo
, em
.
Utilizando a Lei de Gauss, mostre que o campo gerado por uma reta carregada é dado por
Utilizando a Lei de Gauss, mostre que o campo gerado por uma reta carregada é dado por
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A ideia é usar a Lei de Gauss para mostrar que o campo elétrico de uma linha infinita e uniformemente carregada (densidade linear de carga λ) vale
Isso cai na matéria de Eletrostática, mais precisamente na aplicação da Lei de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar de:
- Noção de simetria cilíndrica;
- Escolher uma superfície gaussiana (no caso, um cilindro coaxial com a linha);
- A forma integral da Lei de Gauss:
; - Calcular fluxo e carga contida nessa superfície.
Passo 2
Escolhendo a superfície gaussiana
Como a linha é infinita, o campo deve “espiralar” simetricamente em torno dela, perdendo dependência de ângulo e de altura. Portanto, a superfície natural é um cilindro de raio e comprimento
, com eixo coincidente à linha carregada.
– No corpo lateral do cilindro, é radial e constante em módulo:
.
– Nas tampas (as bases), é perpendicular à normal delas, então o fluxo lá é zero.
Como a linha é infinita, o campo deve “espiralar” simetricamente em torno dela, perdendo dependência de ângulo e de altura. Portanto, a superfície natural é um cilindro de raio
– No corpo lateral do cilindro,
– Nas tampas (as bases),
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss
A Lei de Gauss diz:
A Lei de Gauss diz:
Só o corpo lateral contribui, então
A carga interna ao cilindro é a densidade linear vezes o comprimento:
Passo 4
Resolvendo para
Colocando na Gauss:
Colocando na Gauss:
Aí o
cancela, restando
Passo 5
Direcionamento do vetor
A gente já sabe que é radial (porque escolhemos simetria cilíndrica), ou seja,
A gente já sabe que