Uma linha reta muito longa, carregada uniformemente, possui carga por unidade de comprimento igual a 4.80 mu C / m e está ao longo do eixo x. Uma segunda linha reta carregada longa e uniforme possui carga por unidade de comprimento igual a -2.40 mu C / m e está paralela ao eixo x, em y=0.400 m.
Utilizando a Lei de Gauss, mostre que o campo gerado por uma reta carregada é dado por E=lambda2 pi varepsilon0 r r

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A ideia é usar a Lei de Gauss para mostrar que o campo elétrico de uma linha infinita e uniformemente carregada (densidade linear de carga λ) vale
E ;=;lambda2pivarepsilon0,r,hat r
Isso cai na matéria de Eletrostática, mais precisamente na aplicação da Lei de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar de:
  • Noção de simetria cilíndrica;
  • Escolher uma superfície gaussiana (no caso, um cilindro coaxial com a linha);
  • A forma integral da Lei de Gauss: ;
  • Calcular fluxo e carga contida nessa superfície.

Passo 2

Escolhendo a superfície gaussiana
Como a linha é infinita, o campo deve “espiralar” simetricamente em torno dela, perdendo dependência de ângulo e de altura. Portanto, a superfície natural é um cilindro de raio e comprimento , com eixo coincidente à linha carregada.
– No corpo lateral do cilindro, é radial e constante em módulo: .
– Nas tampas (as bases), é perpendicular à normal delas, então o fluxo lá é zero.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss
A Lei de Gauss diz:
ointrm superf vec Ecdot dvec A ;=;Qrm intvarepsilon0
Só o corpo lateral contribui, então
Phi = E(r)times (área lateral) = E(r)times l(2pi r Lr) á
A carga interna ao cilindro é a densidade linear vezes o comprimento:
Qrm int=lambda,L

Passo 4

Resolvendo para E(r),l(2pi r Lr) = lambda,Lvarepsilon0
Colocando na Gauss:
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r
Aí o cancela, restando

Passo 5

Direcionamento do vetor
A gente já sabe que vec E = E(r),hat r = lambda2pivarepsilon0,r,hat r é radial (porque escolhemos simetria cilíndrica), ou seja,

Resposta

boxedE=lambda2pivarepsilon0,r,r

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