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Um capacitor tem placas paralelas de área S=80 \mathrm{~cm}^{2}, separadas 0,50 \mathrm{~mm} uma da outra por uma película de náilon.
Determine:
a) a capacidade desse capacitor;
b) a carga máxima que pode ser armazenada nesse capacitor, sabendo-se que a rigidez dielétrica do náilon é de 4,0 \cdot 10^{7} \mathrm{~V} / \mathrm{m};
c) a energia potencial acumulada no capacitor nas condições do item b.
(Dados: permissividade elétrica do vácuo:
\varepsilon_{0}=8,9 \cdot 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}; constante dielétrica do náilon: k=3,5.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Área das placas: S=80\\ \mathrm{cm}^2.
  • Separação entre placas: d=0,50\\ \mathrm{mm}.
  • Constante dielétrica do náilon: k=3,5.
  • Rigidez dielétrica (campo de ruptura) do náilon: E_{\text{máx}}=4,0\times10^{7}\\ \mathrm{V/m}á.
  • Permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8,9\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}) (equivalente a \mathrm{F/m}).
O enunciado pede:
(a) a capacidade C do capacitor;
(b) a carga máxima Q_{\text{máx}}á que pode ser armazenada sabendo a rigidez dielétrica;
(c) a energia potencial U acumulada nas condições do item (b).
Antes de calcular, converto unidades para o SI:
  • S=80\\ \mathrm{cm}^2 = 80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 8,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • d=0,50\\ \mathrm{mm} = 0,50\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 5,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Fórmula da capacidade de um capacitor de placas paralelas e explicação didática:
  • Fórmula: C=\frac{\varepsilon S}{d}
  • O que cada símbolo significa:
    • C é a capacitância (unidade: farad, \mathrm{F}).
    • \varepsilon é a permissividade do dielétrico entre as placas (unidade: \mathrm{F/m}). Para um dielétrico com constante dielétrica k, \varepsilon=k\varepsilon_{0}.
    • S é a área de cada placa (unidade: \mathrm{m}^2).
    • d é a separação entre as placas (unidade: \mathrm{m}).
Motivação curta da fórmula (intuição): em placas paralelas o campo elétrico é aproximadamente uniforme entre as placas; a permissividade \varepsilon mede quanto o dielétrico “permite” armazenamento de carga por unidade de campo; portanto a capacitância aumenta com S e \varepsilon e diminui com d.
Calculando a permissividade do náilon:
\varepsilon = k\varepsilon_{0} = 3,5\cdot 8,9\times10^{-12} = 3,115\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Cálculo da capacitância com as quantidades em SI:
\varepsilon S = 3,115\times10^{-11}\cdot 8,0\times10^{-3} = 2,492\times10^{-13}\\ \mathrm{F\cdot m}.
Agora:
C=\frac{\varepsilon S}{d}=\frac{2,492\times10^{-13}}{5,0\times10^{-4}}=4,984\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Interpretação numérica e forma comum: C\approx 4,98\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=0,498\\ \mathrm{nF} (aprox. 0,50\\ \mathrm{nF}).

Passo 4

Determinar a tensão máxima permitida pelo dielétrico (explicação): a rigidez dielétrica E_{\text{máx}}á é o valor do campo elétrico a partir do qual o dielétrico entra em ruptura (faísca). Para placas separadas por d e assumindo campo uniforme, a tensão máxima é
V_{\text{máx}} = E_{\text{máx}}\\ d.áá
Calculo:
V_{\text{máx}} = 4,0\times10^{7}\cdot 5,0\times10^{-4} = 2,0\times10^{4}\\ \mathrm{V}.á
Ou seja, aproximadamente 20{,}0\\ \mathrm{kV}.

Passo 5

Cálculo da carga máxima usando Q=CV (explicação): a carga armazenada numa capacitância C submetida a uma tensão V é Q=CV. Então:
Q_{\text{máx}} = C\,V_{\text{máx}} = 4,984\times10^{-10}\cdot 2,0\times10^{4} = 9,968\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.áá
Forma conveniente: Q_{\text{máx}}\approx 9,97\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=9,97\\ \mu\mathrm{C}á (aprox. 10\\ \mu\mathrm{C}).

Passo 6

Cálculo da energia armazenada (explicação das fórmulas): energia elétrica armazenada num capacitor pode ser calculada por qualquer uma das fórmulas equivalentes
U=\tfrac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}=\tfrac{1}{2}QV.
Usarei U=\tfrac{1}{2}CV^2 com os valores que já temos:
U=\tfrac{1}{2}\cdot 4,984\times10^{-10}\cdot(2,0\times10^{4})^{2}.
Calculo passo a passo:
(2,0\times10^{4})^{2}=4,0\times10^{8},
4,984\times10^{-10}\cdot 4,0\times10^{8}=1,9936\times10^{-1}=0,19936,
U=\tfrac{1}{2}\cdot 0,19936=0,09968\\ \mathrm{J}.
Arredondando: U\approx 9,97\times10^{-2}\\ \mathrm{J}\approx 0,10\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Resumo rápido das incertezas e arredondamentos: usei os dados fornecidos com três algarismos quando aplicável; resultados apresentados com 3 dígitos significativos onde faz sentido. Valores arredondados para apresentação final estão próximos dos valores calculados diretamente.

Resposta

(a) C=4,984\times10^{-10}\\ \mathrm{F}\approx0,498\\ \mathrm{nF}.
(b) Q_{\text{máx}}=9,968\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\approx9,97\\ \mu\mathrm{C}.á
(c) U=9,968\times10^{-2}\\ \mathrm{J}\approx0,10\\ \mathrm{J}.

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