Determine o centro de massa ( \mathbf{r}_{\mathbf{c m}} ) de um sistema de 4 bolinhas de massas diferentes ( \mathbf{m l}_{\mathbf{l}}= 1,0 \mathrm{~kg}, m_{2}=2,0 \mathrm{~kg}, m_{3}=3,0 \mathrm{~kg}, m_{4}=4,0 \mathrm{~kg} ), organizadas nos vértices de um quadrado de lado L=5,0 m. Desenhe o sistema de eixos cartesianos e a sua origem, escreva a posição de cada bolinha na forma vetorial de acordo com sua escolha de eixos e origem e analise separadamente os eixos x e y. Dê sua resposta final na forma vetorial.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o centro de massa \mathbf{r}_{\mathbf{c m}} de um sistema de quatro bolinhas com massas diferentes colocadas nos vértices de um quadrado de lado L=5,0\\ \mathrm{m}. As informações fornecidas são:
  • massas: m_{1}=1,0\\ \mathrm{kg}, m_{2}=2,0\\ \mathrm{kg}, m_{3}=3,0\\ \mathrm{kg}, m_{4}=4,0\\ \mathrm{kg};
  • o quadrado tem lado L=5,0\\ \mathrm{m}.
As tarefas explícitas do enunciado:
  • desenhar o sistema de eixos cartesianos e a origem (ou, equivalentemente, escolher e descrever a origem e os eixos);
  • escrever a posição de cada bolinha na forma vetorial segundo a escolha dos eixos/origem;
  • analisar separadamente as componentes x e y ao calcular o centro de massa;
  • dar a resposta final na forma vetorial.

Passo 2

Escolha de eixos e origem (é preciso escolher para poder escrever as posições vetoriais). Vou escolher, por simplicidade e por ser a escolha mais comum:
  • a origem O no vértice inferior-esquerdo do quadrado;
  • o eixo x apontando para a direita;
  • o eixo y apontando para cima.
Descrição das posições dos vértices (com base nessa escolha):
  • vértice inferior-esquerdo: coordenadas (0,0);
  • vértice inferior-direito: coordenadas (L,0);
  • vértice superior-direito: coordenadas (L,L);
  • vértice superior-esquerdo: coordenadas (0,L).
Vou atribuir as massas aos vértices seguindo a numeração 1\to inferior-esquerdo, 2\to inferior-direito, 3\to superior-direito, 4\to superior-esquerdo. Essa atribuição é uma escolha legítima (o enunciado não especificou outra), e deixa os cálculos claros.

Passo 3

Escrever as posições vetoriais de cada bolinha segundo a escolha acima. Usarei vetores unitários \hat{\mathbf{i}} (para x) e \hat{\mathbf{j}} (para y).
\mathbf{r}_1 = 0\,\hat{\mathbf{i}} + 0\,\hat{\mathbf{j}} = \bigl(0,0\bigr)\\ \mathrm{m}
\mathbf{r}_2 = L\,\hat{\mathbf{i}} + 0\,\hat{\mathbf{j}} = \bigl(L,0\bigr)\\ \mathrm{m}
\mathbf{r}_3 = L\,\hat{\mathbf{i}} + L\,\hat{\mathbf{j}} = \bigl(L,L\bigr)\\ \mathrm{m}
\mathbf{r}_4 = 0\,\hat{\mathbf{i}} + L\,\hat{\mathbf{j}} = \bigl(0,L\bigr)\\ \mathrm{m}
Observação didática rápida sobre notação: aqui \mathbf{r}_i é o vetor posição da massa m_i; suas componentes são as coordenadas (x_i,y_i).

Passo 4

Fórmula do centro de massa para um conjunto discreto de partículas: a posição do centro de massa \mathbf{r}_{\mathrm{cm}} é a média ponderada das posições, ponderada pelas massas:
\mathbf{r}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{4} m_i\,\mathbf{r}_i,
onde M é a massa total do sistema:
M=\sum_{i=1}^{4} m_i.
Explicando: para cada partícula multiplica-se sua massa pela sua posição vetorial; somam-se esses produtos e divide-se pela massa total. Isso dá o “ponto médio ponderado” pelo peso (massa) de cada partícula.

Passo 5

Calcular a massa total M. Substituindo os valores dados:
M = m_1+m_2+m_3+m_4 = 1,0+2,0+3,0+4,0 = 10,0\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Analisar separadamente as componentes x e y. Usamos que a componente x do centro de massa é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{4} m_i x_i,
e a componente y é
y_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{4} m_i y_i.
Aqui x_i e y_i são as coordenadas de \mathbf{r}_i escritas no Passo 3.

Passo 7

Calcular x_{\mathrm{cm}}. Substituindo os x_i das posições:
\sum_{i=1}^{4} m_i x_i = m_1\cdot 0 + m_2\cdot L + m_3\cdot L + m_4\cdot 0 = (m_2+m_3)\,L.
Com os valores numéricos:
m_2+m_3 = 2,0+3,0 = 5,0,
portanto
\sum_{i=1}^{4} m_i x_i = 5,0\cdot L = 5,0\cdot 5,0 = 25,0\\ \mathrm{kg\cdot m}.
Dividindo pela massa total M=10,0\\ \mathrm{kg}:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{25,0}{10,0}=2,5\\ \mathrm{m}.
Também é possível ver isso algebricamente como
x_{\mathrm{cm}}=\frac{(m_2+m_3)\,L}{M}=\frac{5,0\,L}{10,0}=\frac{L}{2}=2,5\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular y_{\mathrm{cm}}. Substituindo os y_i:
\sum_{i=1}^{4} m_i y_i = m_1\cdot 0 + m_2\cdot 0 + m_3\cdot L + m_4\cdot L = (m_3+m_4)\,L.
Com os valores numéricos:
m_3+m_4 = 3,0+4,0 = 7,0,
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\sum_{i=1}^{4} m_i y_i = 7,0\cdot L = 7,0\cdot 5,0 = 35,0\\ \mathrm{kg\cdot m}.
Dividindo por M=10,0\\ \mathrm{kg}:
y_{\mathrm{cm}}=\frac{35,0}{10,0}=3,5\\ \mathrm{m}.
Algebricamente,
y_{\mathrm{cm}}=\frac{(m_3+m_4)\,L}{M}=\frac{7,0\,L}{10,0}=\frac{7}{10}L=3,5\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Montar o vetor posição do centro de massa reunindo as componentes calculadas:
\mathbf{r}_{\mathrm{cm}} = x_{\mathrm{cm}}\,\hat{\mathbf{i}} + y_{\mathrm{cm}}\,\hat{\mathbf{j}} = 2,5\,\hat{\mathbf{i}} + 3,5\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida e motivadora: note que x_{\mathrm{cm}}=L/2 porque as massas do lado direito ( m_2 e m_3) somam 5,0 que é a metade da massa total, então o centro fica na metade em x. Em y o centro fica mais próximo do topo ( y=3,5\\ \mathrm{m}) porque as massas maiores ( m_3 e m_4) estão no topo.

Resposta

\mathbf{r}_{\mathrm{cm}} = 2,5\,\hat{\mathbf{i}} + 3,5\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m}

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