Determine o centro de massa (
) de um sistema de 4 bolinhas de massas diferentes (
), organizadas nos vértices de um quadrado de lado
m. Desenhe o sistema de eixos cartesianos e a sua origem, escreva a posição de cada bolinha na forma vetorial de acordo com sua escolha de eixos e origem e analise separadamente os eixos x e y. Dê sua resposta final na forma vetorial.
Passo 1
O enunciado pede que se determine o centro de massa
de um sistema de quatro bolinhas com massas diferentes colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. As informações fornecidas são:
- massas:
, , , ; - o quadrado tem lado
.
As tarefas explícitas do enunciado:
- desenhar o sistema de eixos cartesianos e a origem (ou, equivalentemente, escolher e descrever a origem e os eixos);
- escrever a posição de cada bolinha na forma vetorial segundo a escolha dos eixos/origem;
- analisar separadamente as componentes
e ao calcular o centro de massa; - dar a resposta final na forma vetorial.
Passo 2
Escolha de eixos e origem (é preciso escolher para poder escrever as posições vetoriais). Vou escolher, por simplicidade e por ser a escolha mais comum:
- a origem
no vértice inferior-esquerdo do quadrado; - o eixo
apontando para a direita; - o eixo
apontando para cima.
Descrição das posições dos vértices (com base nessa escolha):
- vértice inferior-esquerdo: coordenadas
; - vértice inferior-direito: coordenadas
; - vértice superior-direito: coordenadas
; - vértice superior-esquerdo: coordenadas
.
Vou atribuir as massas aos vértices seguindo a numeração
inferior-esquerdo,
inferior-direito,
superior-direito,
superior-esquerdo. Essa atribuição é uma escolha legítima (o enunciado não especificou outra), e deixa os cálculos claros.
Passo 3
Escrever as posições vetoriais de cada bolinha segundo a escolha acima. Usarei vetores unitários
(para
) e
(para
).
Observação didática rápida sobre notação: aqui
é o vetor posição da massa
; suas componentes são as coordenadas
.
Passo 4
Fórmula do centro de massa para um conjunto discreto de partículas: a posição do centro de massa
é a média ponderada das posições, ponderada pelas massas:
onde
é a massa total do sistema:
Explicando: para cada partícula multiplica-se sua massa pela sua posição vetorial; somam-se esses produtos e divide-se pela massa total. Isso dá o “ponto médio ponderado” pelo peso (massa) de cada partícula.
Passo 5
Calcular a massa total
. Substituindo os valores dados:
Passo 6
Analisar separadamente as componentes
e
. Usamos que a componente
do centro de massa é
e a componente
é
Aqui
e
são as coordenadas de
escritas no Passo 3.
Passo 7
Calcular
. Substituindo os
das posições:
Com os valores numéricos:
portanto
Dividindo pela massa total
:
Também é possível ver isso algebricamente como
Passo 8
Calcular
. Substituindo os
:
Com os valores numéricos:
logo
Dividindo por
:
Algebricamente,
Passo 9
Montar o vetor posição do centro de massa reunindo as componentes calculadas:
Interpretação rápida e motivadora: note que
porque as massas do lado direito (
e
) somam
que é a metade da massa total, então o centro fica na metade em
. Em
o centro fica mais próximo do topo (
) porque as massas maiores (
e
) estão no topo.