CAPILARIDADE E TENSÃO SUPERFICIAL
- Calcular a depressão capilar de mercúrio (
e
) num tubo capilar de diâmetro de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a depressão capilar do mercúrio num tubo capilar de diâmetro
. Os dados fornecidos são:
- Tensão superficial:
. - Densidade do mercúrio:
. - Ângulo de contato:
. - Diâmetro do tubo:
.
A resposta pedida é o valor da depressão capilar (altura em metros) causada pelo mercúrio no tubo.
Passo 2
Ideia física e equilíbrio que usamos (explicação didática).
Quando um líquido interage com um tubo capilar, a força criada pela tensão superficial ao longo da circunferência do tubo tem uma componente vertical que puxa (ou empurra) a coluna de líquido para cima ou para baixo. Essa força vertical do contorno é equilibrada pelo peso da coluna de líquido que sobe (ou desce) no interior do tubo. Se a superfície “molha” o vidro ( ) a coluna sobe; se não molha (
) a coluna desce — é uma depressão. No caso do mercúrio,
, portanto esperamos depressão (queda do nível dentro do tubo em relação ao nível externo).
Quando um líquido interage com um tubo capilar, a força criada pela tensão superficial ao longo da circunferência do tubo tem uma componente vertical que puxa (ou empurra) a coluna de líquido para cima ou para baixo. Essa força vertical do contorno é equilibrada pelo peso da coluna de líquido que sobe (ou desce) no interior do tubo. Se a superfície “molha” o vidro (
Passo 3
Derivação da fórmula do equilíbrio (passo-a-passo).
Considere um tubo cilíndrico de raio com a coluna de líquido deslocada por uma altura
(positivo para subida; negativo para depressão). A força vertical resultante da tensão superficial ao longo da circunferência é dada por:
Considere um tubo cilíndrico de raio
onde:
-
é o comprimento da circunferência do tubo; -
é a tensão superficial; -
projeta a força tangencial na direção vertical (se for negativo, a força vertical aponta para baixo).
O peso da coluna de líquido de altura
é
onde:
-
é a densidade do líquido, -
é a aceleração da gravidade (usar ), -
é o volume da coluna.
No equilíbrio vertical
, ou seja
Isolando
obtemos a fórmula clássica da capilaridade:
Aqui
é positivo se
(subida) e negativo se
(depressão). Cada variável significa:
-
: altura relativa da coluna (m). -
: tensão superficial (N/m). -
: ângulo de contato (graus). -
: densidade (kg/m^3). -
: aceleração da gravidade (m/s^2). -
: raio do tubo (m).
Passo 4
Converter o diâmetro para raio em metros.
O diâmetro dado é . Converter para metros e dividir por 2:
O diâmetro dado é
Passo 5
Avaliar
para
.
Usa-se a identidade . O cosseno de
vale aproximadamente
. Logo:
Usa-se a identidade
Passo 6
Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo.
Primeiro o numerador:
Primeiro o numerador:
Agora o denominador
:
Calcule por etapas:
Portanto
Agora a altura:
O sinal negativo confirma que se trata de uma depressão. Em valor absoluto, a depressão é aproximadamente
(23,0 cm).
Passo 7
Interpretação final e dica para prova.
- Resultado: a depressão capilar do mercúrio neste tubo muito fino é grande — cerca de
para baixo — porque o mercúrio não molha o vidro ( ) e a tensão superficial é relativamente alta. - Dica prática para prova: sempre verifique o sinal de
; ⇒ ⇒ depressão. Converta sempre unidades para o SI (mm → m) antes de substituir na fórmula.