CAPILARIDADE E TENSÃO SUPERFICIAL

  1. Calcular a depressão capilar de mercúrio ( \gamma=0,5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \rho=13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e \theta=140^{\circ} ) num tubo capilar de diâmetro de 0,05 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a depressão capilar do mercúrio num tubo capilar de diâmetro 0{,}05\\ \mathrm{mm}. Os dados fornecidos são:
  • Tensão superficial: \gamma=0{,}5\\ \mathrm{N/m}.
  • Densidade do mercúrio: \rho=13600\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Ângulo de contato: \theta=140^\circ.
  • Diâmetro do tubo: d=0{,}05\\ \mathrm{mm}.
A resposta pedida é o valor da depressão capilar (altura em metros) causada pelo mercúrio no tubo.

Passo 2

Ideia física e equilíbrio que usamos (explicação didática).
Quando um líquido interage com um tubo capilar, a força criada pela tensão superficial ao longo da circunferência do tubo tem uma componente vertical que puxa (ou empurra) a coluna de líquido para cima ou para baixo. Essa força vertical do contorno é equilibrada pelo peso da coluna de líquido que sobe (ou desce) no interior do tubo. Se a superfície “molha” o vidro ( \theta<90^\circ) a coluna sobe; se não molha ( \theta>90^\circ) a coluna desce — é uma depressão. No caso do mercúrio, \theta=140^\circ>90^\circ, portanto esperamos depressão (queda do nível dentro do tubo em relação ao nível externo).

Passo 3

Derivação da fórmula do equilíbrio (passo-a-passo).
Considere um tubo cilíndrico de raio r com a coluna de líquido deslocada por uma altura h (positivo para subida; negativo para depressão). A força vertical resultante da tensão superficial ao longo da circunferência é dada por:
F_{\mathrm{t}} = 2\pi r\,\gamma\cos\theta,
onde:
  • 2\pi r é o comprimento da circunferência do tubo;
  • \gamma é a tensão superficial;
  • \cos\theta projeta a força tangencial na direção vertical (se \cos\theta for negativo, a força vertical aponta para baixo).
O peso da coluna de líquido de altura h é
W = \rho g (\pi r^2 h),
onde:
  • \rho é a densidade do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \pi r^2 h é o volume da coluna.
No equilíbrio vertical F_{\mathrm{t}}+(-W)=0, ou seja
2\pi r\,\gamma\cos\theta = \rho g (\pi r^2 h).
Isolando h obtemos a fórmula clássica da capilaridade:
h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
Aqui h é positivo se \cos\theta>0 (subida) e negativo se \cos\theta<0 (depressão). Cada variável significa:
  • h: altura relativa da coluna (m).
  • \gamma: tensão superficial (N/m).
  • \theta: ângulo de contato (graus).
  • \rho: densidade (kg/m^3).
  • g: aceleração da gravidade (m/s^2).
  • r: raio do tubo (m).

Passo 4

Converter o diâmetro para raio em metros.
O diâmetro dado é d=0{,}05\\ \mathrm{mm}. Converter para metros e dividir por 2:
d=0{,}05\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, \qquad r=\frac{d}{2}= \frac{5\times10^{-5}}{2}=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Avaliar \cos\theta para \theta=140^\circ.
Usa-se a identidade \cos(140^\circ) = -\cos(40^\circ). O cosseno de 40^\circ vale aproximadamente 0{,}7660444. Logo:
\cos(140^\circ) \approx -0{,}7660444.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo.
Primeiro o numerador:
2\gamma\cos\theta = 2\cdot 0{,}5\cdot(-0{,}7660444) = -0{,}7660444\\ \mathrm{N/m}.
Agora o denominador \rho g r:
\rho g r = 13600\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5\times10^{-5}.
Calcule por etapas:
13600\cdot 9{,}81 = 133416,
133416\cdot 2{,}5\times10^{-5} = 3{,}3354.
Portanto
\rho g r \approx 3{,}3354\\ (\text{unidades compatíveis}).í
Agora a altura:
h = \frac{-0{,}7660444}{3{,}3354} \approx -0{,}2297\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo confirma que se trata de uma depressão. Em valor absoluto, a depressão é aproximadamente 0{,}230\\ \mathrm{m} (23,0 cm).

Passo 7

Interpretação final e dica para prova.
  • Resultado: a depressão capilar do mercúrio neste tubo muito fino é grande — cerca de 23\\ \mathrm{cm} para baixo — porque o mercúrio não molha o vidro ( \theta>90^\circ) e a tensão superficial é relativamente alta.
  • Dica prática para prova: sempre verifique o sinal de \cos\theta; \theta>90^\circ \cos\theta<0 ⇒ depressão. Converta sempre unidades para o SI (mm → m) antes de substituir na fórmula.

Resposta

h = 0{,}230\\ \mathrm{m}

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