CAPILARIDADE E TENSÃO SUPERFICIAL

  1. Calcule a altura ou depressão capilar h das substâncias num tubo capilar de vidro de 0,1 \mathrm{~mm} de diâmetro
    a) água pura ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 ; \theta=0, \gamma=0,073 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ).
    b) mercúrio ( \rho=13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3, \theta=140^{\circ}, \gamma=0,513 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ).
    c) Se o tubo capilar do item a) for quebrado, de tal modo que seu comprimento acima da superfície livre da água se tornar \mathrm{h} / 2, haverá fluxo de água através do capilar? Por que?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos dão.
  • Pedidos:
    a) calcular a altura de ascensão capilar h para água num tubo de vidro de diâmetro 0,1\\ \mathrm{mm};
    b) calcular a depressão/elevação capilar h para mercúrio no mesmo tubo;
    c) se no caso (a) o tubo for quebrado de modo que o comprimento acima da superfície livre da água passe a ser h/2, perguntar se haverá fluxo de água através do capilar e justificar.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Diâmetro do tubo: D=0,1\\ \mathrm{mm}.
    • Para a água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \theta=0, \gamma=0,073\\ \mathrm{N/m}.
    • Para o mercúrio: \rho=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \theta=140^{\circ}, \gamma=0,513\\ \mathrm{N/m}.
    • Usarei g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar — derivação e significado das variáveis (aula curta e intuitiva).
  • Ideia física: a superfície curva do líquido dentro do capilar cria uma diferença de pressão entre o interior do menisco e o reservatório. Essa diferença de pressão é dada pela tensão superficial \gamma e pela curvatura do menisco. O peso da coluna de líquido que sobe é equilibrado por essa diferença de pressão.
  • Resultado padrão (que vamos justificar de forma simples): para um tubo cilíndrico de raio r a altura de capilaridade satisfaz
\rho g h = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \rho = massa específica do líquido ( \mathrm{kg/m^3});
    • g = aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2});
    • h = altura de elevação (ou depressão, se negativa) do líquido relativa ao nível livre do reservatório ( \mathrm{m});
    • \gamma = tensão superficial do líquido ( \mathrm{N/m});
    • \theta = ângulo de contato entre líquido e parede (ângulo interno); \cos\theta dá o sinal e a componente vertical da força de tensão superficial;
    • r = raio interno do tubo ( \mathrm{m}).
  • Como se obtém essa fórmula, de maneira intuitiva:
    1. A diferença de pressão causada pela curvatura do menisco vale, em termos da curvatura efetiva, \Delta P = 2\gamma/(R_{\text{menisco}}). No tubo cilíndrico a componente vertical da curvatura dá \Delta P = 2\gamma\cos\theta / r (fórmula padrão obtida relacionando a geometria do menisco com o raio do tubo; o fator \cos\theta aparece porque apenas a componente vertical da força superficial sustenta a coluna).
    2. Em equilíbrio hidrostático isso compensa o peso da coluna: \Delta P=\rho g h.
    3. Assim isolamos h:
    h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
    • Usando o diâmetro D=2r fica mais prático:
    h=\frac{4\gamma\cos\theta}{\rho g D}.

Passo 3

Preparar os valores numéricos e converter unidades.
  • Converto o diâmetro para metros e calculo o raio: D=0,1\\ \mathrm{mm}=0,1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
r=\frac{D}{2}=\frac{1\times10^{-4}}{2}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo detalhado para a água (item a). Mostrar contas passo a passo.
  • Para a água: \gamma=0,073\\ \mathrm{N/m}, \theta=0\Rightarrow\cos\theta= \cos 0=1, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Usando \displaystyle h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r} com r=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}:
    • Numerador:
    2\gamma\cos\theta=2\times0,073\times1=0,146\\ \mathrm{N/m}.
    • Denominador:
    \rho g r = 1000\times9,81\times5\times10^{-5}.Calculo passo a passo: 1000\times9,81=9810,
9810\times5\times10^{-5}=9810\times0,00005=0,4905\\ \mathrm{(N/m^{2}\; em termos de \rho g r)}.
  • Portanto
h=\frac{0,146}{0,4905}\approx0,2978\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente:
h\approx0,298\\ \mathrm{m}=29,8\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Cálculo detalhado para o mercúrio (item b). Atenção ao sinal do cosseno (depressão).
  • Para o mercúrio: \gamma=0,513\\ \mathrm{N/m}, \rho=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \theta=140^{\circ}.
  • Primeiro calcule \cos\theta. Como 140^{\circ}=180^{\circ}-40^{\circ}, tem-se \cos140^{\circ}=-\cos40^{\circ}. Usando \cos40^{\circ}\approx0,7660, \cos140^{\circ}\approx-0,7660.
  • Numerador: 2\gamma\cos\theta=2\times0,513\times(-0,7660)\approx-0,78596.
  • Denominador: \rho g r = 13600\times9,81\times5\times10^{-5}.Calcule passo a passo: 13600\times9,81=133416,
133416\times5\times10^{-5}=133416\times0,00005=6,6708.
  • Logo h=\frac{-0,78596}{6,6708}\approx-0,1179\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando: h\approx-0,118\\ \mathrm{m}=-11,8\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação do sinal: o valor negativo indica depressão capilar (o nível do mercúrio no tubo fica abaixo do nível do reservatório) — isto é esperado porque mercúrio não molha o vidro ( \theta>90^\circ).

Passo 6

Resposta ao item (c): tubo quebrado com comprimento acima da superfície igual a h/2 (caso da água). Vou explicar qualitativa e quantitativamente por que haverá ou não fluxo.
  • Do item (a) temos h_{\text{eq}}\approx0,298\\ \mathrm{m}. Se o tubo tiver agora apenas comprimento disponível acima da superfície igual a h_{\text{eq}}/2\approx0,149\\ \mathrm{m}, isso significa que a coluna de água possível nesse tubo é mais curta do que a altura que a capilaridade “gosta” de sustentar.
  • A capilaridade gera uma “sucção” fixa (pressão capilar) que, se não houver ruptura do equilíbrio, sustenta uma coluna de altura h_{\text{eq}}. Se o tubo for mais curto do que h_{\text{eq}}, a água sobe até o topo do tubo; ao alcançar a borda superior ela pode transbordar/escorrer para fora. Como a força capilar (por unidade de área) ainda é maior que o peso da coluna parcial h/2, haverá um empuxo líquido para cima que provoca o fluxo para fora do tubo até que se estabeleça uma nova configuração (por exemplo, molhar a superfície externa, formação de novo menisco, eventual escoamento externo).
  • Conclusão física curta: Sim — haverá fluxo da água através do capilar (vai subir até o topo e transbordar/escorrer), porque a altura de equilíbrio h é maior que o comprimento disponível h/2; a força capilar excede o peso da coluna disponível e portanto eleva a água até o topo, provocando saída. Esse fluxo não é um bombeamento contínuo infinito: ele ocorre até que se forme uma nova geometria de menisco/filme que anule o excesso de sucção (ou até o reservatório secar), mas certamente haverá escoamento inicial.

Resposta

a) \,h\approx0,298\\ \mathrm{m}
b) \,h\approx-0,118\\ \mathrm{m} (depressão capilar de 0,118\\ \mathrm{m})
c) Sim. Porque h_{\text{eq}}=0,298\\ \mathrm{m}>h/2, então a força capilar eleva a água até o topo do tubo e ela transborda/escorre; a coluna disponível é menor que a altura de equilíbrio, logo há fluxo inicial.

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