Os capitais de \mathrm{R} \ 8.000,00, \mathrm{R} $10.000,00 e\mathrm{R} $ 6.000,00$ foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8,5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros, à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.
(a) 6 meses
(b) 6 meses e meio
(c) 7 meses
(d) 7 meses e dez dias
(e) 7 meses e dezoito dias

Passo 1

O enunciado dá três capitais e seus respectivos prazos (todos à mesma taxa de juros simples) e pede um prazo único T tal que o juro produzido pelo somatório dos capitais aplicados durante T meses seja igual à soma dos juros que cada capital produzido nos seus próprios prazos. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Capitais: C_1=\mathrm{R}\$\;8.000, C_2=\mathrm{R}\$\;10.000, C_3=\mathrm{R}\$\;6.000.
  • Prazos (respectivamente): t_1=8 meses, t_2=5 meses, t_3=9 meses.
  • Mesma taxa de juros simples (incógnita, chamaremos de i, taxa por mês).
  • Pergunta: qual o valor de T (em meses) tal que o juro de C_1+C_2+C_3 aplicado por T meses seja igual à soma dos juros individuais J_1+J_2+J_3?
    As alternativas dadas são:
    (a) 6 meses
    (b) 6{,}5 meses
    (c) 7 meses
    (d) 7 meses e 10 dias
    (e) 7 meses e 18 dias

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de juros simples e entender cada termo. A fórmula do juro simples é
J = C \cdot i \cdot t
onde:
  • J é o juro obtido,
  • C é o capital inicial (o dinheiro aplicado),
  • i é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui, por mês),
  • t é o tempo da aplicação na mesma unidade usada em i (aqui, meses).
Explicando de modo concreto: se eu aplico C por t meses a uma taxa mensal i, o juro total é simplesmente proporcional a C, a i e a t. A razão disso é que em juros simples os juros não “capitalizam” — não geram juros sobre juros.
Como a taxa i é a mesma para todas as aplicações, ela vai se cancelar quando igualarmos os juros, o que facilita muito as contas.

Passo 3

Escrevemos as expressões dos juros individuais usando a fórmula:
J_1 = C_1\cdot i \cdot t_1 = 8000\cdot i \cdot 8,
J_2 = C_2\cdot i \cdot t_2 = 10000\cdot i \cdot 5,
J_3 = C_3\cdot i \cdot t_3 = 6000\cdot i \cdot 9.

Passo 4

O capital total é
C_{\text{total}} = C_1+C_2+C_3 = 8000+10000+6000 = 24000.
O juro produzido por esse capital total aplicado por T meses é
J_{\text{total}} = C_{\text{total}}\cdot i \cdot T = 24000\cdot i \cdot T.
A condição do enunciado é que esse juro seja igual à soma dos juros individuais:
24000\cdot i \cdot T = 8000\cdot i \cdot 8 + 10000\cdot i \cdot 5 + 6000\cdot i \cdot 9.

Passo 5

Como i aparece em todos os termos, podemos simplificar dividindo ambos os lados por i (assumindo i\neq 0):
24000 \cdot T = 8000\cdot 8 + 10000\cdot 5 + 6000\cdot 9.
Agora calculamos cada produto:
8000\cdot 8 = 64000,
10000\cdot 5 = 50000,
6000\cdot 9 = 54000.
Somando:
8000\cdot 8 + 10000\cdot 5 + 6000\cdot 9 = 64000 + 50000 + 54000 = 168000.
Logo
24000 \cdot T = 168000.
Resolvendo para T:
T = \frac{168000}{24000}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 1000:
T = \frac{168}{24}.
E \dfrac{168}{24}=7. Portanto T=7 meses.

Passo 6

Interpretação final: o capital total precisa ficar aplicado por 7 meses para que o juro produzido seja igual à soma dos juros das aplicações separadas. Isso bate direitinho com a lógica de média ponderada dos tempos, onde os pesos são os capitais — aqui a média ponderada dá exatamente 7 meses.
Força aí — você já consegue aplicar esse método em outros problemas parecidos: basta escrever os juros individuais e igualar ao juro do capital total, lembrando que a taxa comum se cancela.

Resposta

(c) 7 meses

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