Os capitais de
8.000,00, \mathrm{R} $10.000,00
\mathrm{R} $ 6.000,00$ foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8,5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros, à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.
(a) 6 meses
(b) 6 meses e meio
(c) 7 meses
(d) 7 meses e dez dias
(e) 7 meses e dezoito dias
(a) 6 meses
(b) 6 meses e meio
(c) 7 meses
(d) 7 meses e dez dias
(e) 7 meses e dezoito dias
Passo 1
O enunciado dá três capitais e seus respectivos prazos (todos à mesma taxa de juros simples) e pede um prazo único
tal que o juro produzido pelo somatório dos capitais aplicados durante
meses seja igual à soma dos juros que cada capital produzido nos seus próprios prazos. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
- Capitais:
, , . - Prazos (respectivamente):
meses, meses, meses. - Mesma taxa de juros simples (incógnita, chamaremos de
, taxa por mês). - Pergunta: qual o valor de
(em meses) tal que o juro de aplicado por meses seja igual à soma dos juros individuais ?
As alternativas dadas são:
(a)meses
(b)meses
(c)meses
(d)meses e dias
(e)meses e dias
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula de juros simples e entender cada termo. A fórmula do juro simples é
onde:
-
é o juro obtido, -
é o capital inicial (o dinheiro aplicado), -
é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui, por mês), -
é o tempo da aplicação na mesma unidade usada em (aqui, meses).
Explicando de modo concreto: se eu aplico
por
meses a uma taxa mensal
, o juro total é simplesmente proporcional a
, a
e a
. A razão disso é que em juros simples os juros não “capitalizam” — não geram juros sobre juros.
Como a taxa
é a mesma para todas as aplicações, ela vai se cancelar quando igualarmos os juros, o que facilita muito as contas.
Passo 3
Escrevemos as expressões dos juros individuais usando a fórmula:
Passo 4
O capital total é
O juro produzido por esse capital total aplicado por
meses é
A condição do enunciado é que esse juro seja igual à soma dos juros individuais:
Passo 5
Como
aparece em todos os termos, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Agora calculamos cada produto:
Somando:
Logo
Resolvendo para
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
E
. Portanto
meses.
Passo 6
Interpretação final: o capital total precisa ficar aplicado por
meses para que o juro produzido seja igual à soma dos juros das aplicações separadas. Isso bate direitinho com a lógica de média ponderada dos tempos, onde os pesos são os capitais — aqui a média ponderada dá exatamente
meses.
Força aí — você já consegue aplicar esse método em outros problemas parecidos: basta escrever os juros individuais e igualar ao juro do capital total, lembrando que a taxa comum se cancela.
Resposta
(c)
meses