Dois capitais, em juros simples, estão entre si assim como 4 está para 6. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:
(a) 20 \%
(b) 60 \%
(c) 40 \%
(d) 50 \%
(e) 70 \%

Passo 1

O enunciado pede: dois capitais, em juros simples, estão entre si na razão 4:6. Queremos que, em igual período de tempo, ambos produzam o mesmo rendimento (mesmo juro acumulado). A pergunta é: a taxa aplicada ao menor capital deve superar a taxa do maior capital em qual porcentagem? Dados relevantes fornecidos:
  • razão entre os capitais: 4:6 (ou seja, o menor é proporcional a 4 e o maior a 6);
  • regime: juros simples (mesma fórmula para ambos);
  • tempo: igual para as duas aplicações;
  • queremos a diferença percentual entre a taxa do menor capital e a taxa do maior, expressa em porcentagem relativa à taxa do maior.

Passo 2

Lembra da fórmula dos juros simples: o juro obtido J é dado por
J = P \cdot i \cdot t,
onde P é o capital (principal), i é a taxa por período (expressa em decimal, por exemplo 10\% = 0,10) e t é o tempo (em períodos). Aqui cada letra significa:
  • P: quanto de dinheiro foi aplicado;
  • i: taxa por período (o que estamos ajustando);
  • t: duração da aplicação.
    Como o tempo t é igual para os dois capitais, ele vai cancelar quando igualarmos os juros, então podemos trabalhar apenas com P e i.

Passo 3

Vamos colocar incógnitas de forma prática e simples (isso é útil na prova):
  • seja C_s o menor capital e C_L o maior capital;
  • pela razão dada, escolhemos C_s = 4k e C_L = 6k, com k>0 (qualquer escala serve);
  • sejam i_s e i_L as taxas do menor e do maior capital, respectivamente.
    Para que os juros sejam iguais no mesmo tempo temos
C_s \cdot i_s \cdot t = C_L \cdot i_L \cdot t.
Cortando t dos dois lados (porque é igual e não nulo), obtemos
C_s \cdot i_s = C_L \cdot i_L.
Substituindo C_s=4k e C_L=6k,
4k \cdot i_s = 6k \cdot i_L.
Cancelando k,
4\, i_s = 6\, i_L.
Isolando a razão entre as taxas:
\frac{i_s}{i_L} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5.
Ou seja,
i_s = \frac{3}{2}\, i_L.

Passo 4

Agora calculamos em quanto, em porcentagem, i_s supera i_L. A diferença absoluta é
i_s - i_L = \left(\frac{3}{2}-1\right)i_L = \frac{1}{2}\, i_L.
A diferença relativa (percentual) em relação à taxa do maior é
\frac{i_s - i_L}{i_L} = \frac{1}{2} = 0{,}5.
Convertendo para porcentagem:
0{,}5 \times 100\% = 50\%.
Interpretação prática (exemplo numérico): se i_L=10\%, então i_s = 15\%. A taxa do menor capital é 5 pontos percentuais maior, o que corresponde a 50\% a mais em relação aos 10\% do maior.

Passo 5

Portanto, a taxa da aplicação do menor capital deve superar a taxa do maior capital em 50\%. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 50\%

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