Dois capitais, em juros simples, estão entre si assim como 4 está para 6. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: dois capitais, em juros simples, estão entre si na razão
. Queremos que, em igual período de tempo, ambos produzam o mesmo rendimento (mesmo juro acumulado). A pergunta é: a taxa aplicada ao menor capital deve superar a taxa do maior capital em qual porcentagem? Dados relevantes fornecidos:
- razão entre os capitais:
(ou seja, o menor é proporcional a e o maior a ); - regime: juros simples (mesma fórmula para ambos);
- tempo: igual para as duas aplicações;
- queremos a diferença percentual entre a taxa do menor capital e a taxa do maior, expressa em porcentagem relativa à taxa do maior.
Passo 2
Lembra da fórmula dos juros simples: o juro obtido
é dado por
onde
é o capital (principal),
é a taxa por período (expressa em decimal, por exemplo
=
) e
é o tempo (em períodos). Aqui cada letra significa:
-
: quanto de dinheiro foi aplicado; -
: taxa por período (o que estamos ajustando); -
: duração da aplicação.
Como o tempoé igual para os dois capitais, ele vai cancelar quando igualarmos os juros, então podemos trabalhar apenas com e .
Passo 3
Vamos colocar incógnitas de forma prática e simples (isso é útil na prova):
- seja
o menor capital e o maior capital; - pela razão dada, escolhemos
e , com (qualquer escala serve); - sejam
e as taxas do menor e do maior capital, respectivamente.
Para que os juros sejam iguais no mesmo tempo temos
Cortando
dos dois lados (porque é igual e não nulo), obtemos
Substituindo
e
,
Cancelando
,
Isolando a razão entre as taxas:
Ou seja,
Passo 4
Agora calculamos em quanto, em porcentagem,
supera
. A diferença absoluta é
A diferença relativa (percentual) em relação à taxa do maior é
Convertendo para porcentagem:
Interpretação prática (exemplo numérico): se
, então
. A taxa do menor capital é
pontos percentuais maior, o que corresponde a
a mais em relação aos
do maior.
Passo 5
Portanto, a taxa da aplicação do menor capital deve superar a taxa do maior capital em
. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)