Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72 \% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de 4 meses e o segundo por 5 meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram \ 39.540 e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em$12.660 , a soma dos dois capitais iniciais era de: (a) \(\\) 140.000
(b) \ 143.000$
(c) \ 145.000$
(d) \ 147.000$
(e) \ 115.000$

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações sob regime de juros simples com as seguintes informações:
\begin{aligned} &\text{taxa anual} = 72\% \\\ &\text{prazo do primeiro capital} = 4\\ \text{meses} \\\ &\text{prazo do segundo capital} = 5\\ \text{meses} \\\ &\text{soma dos juros} = \$\\\ 39.540 \\\ &\text{diferença dos juros} = \text{juros do segundo} - \text{juros do primeiro} = \$\\\ 12.660 \end{aligned}ç

O que o problema pede: determinar a soma dos dois capitais iniciais (escolher entre as alternativas dadas).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: em juros simples, o juro gerado por um capital P é dado por
J = P \cdot i \cdot t,
onde J é o juro total, P é o capital inicial, i é a taxa por unidade de tempo (em forma decimal) e t é o tempo medido na mesma unidade que i. Aqui i é a taxa anual, então t deve ficar em anos. Convertendo:
i = 72\% = 0,72.
O tempo em anos para 4 meses é \dfrac{4}{12} e para 5 meses é \dfrac{5}{12}.

Passo 3

Escrever os juros do primeiro e do segundo capital em termos dos capitais P_1 e P_2:
\begin{aligned} J_1 &= P_1 \cdot 0,72 \cdot \frac{4}{12},\\[4pt] J_2 &= P_2 \cdot 0,72 \cdot \frac{5}{12}. \end{aligned}
Calculemos os fatores numéricos:
0,72\cdot\frac{4}{12}=0,72\cdot\frac{1}{3}=0,24, \qquad 0,72\cdot\frac{5}{12}=0,72\cdot\frac{5}{12}=0,30.
Portanto:
J_1 = 0,24\,P_1, \qquad J_2 = 0,30\,P_2.]

Passo 4

Usando as informações do enunciado montamos um sistema para J_1\) e \(J_2\): \[\begin{cases} J_1 + J_2 = 39.540,\\[4pt] J_2 - J_1 = 12.660. \end{cases}
Para resolver, somamos as duas equações para eliminar J_1\]: \[(J_1+J_2) + (J_2-J_1) = 39.540 + 12.660.\] Do lado esquerdo sobra \(2J_2. Do lado direito:
39.540 + 12.660 = 52.200.
Logo:
2J_2 = 52.200 \implies J_2 = \frac{52.200}{2} = 26.100.]

Passo 5

Com J_2 encontrado, obtemos J_1 pela primeira equação:
J_1 = 39.540 - J_2 = 39.540 - 26.100 = 13.440.

Passo 6

Agora voltamos às expressões J_1 = 0,24\,P_1 e J_2 = 0,30\,P_2 para achar os capitais P_1 e P_2.
P_1 = \frac{J_1}{0,24} = \frac{13.440}{0,24}.
Para calcular sem calculadora: dividir por 0,24 é multiplicar por \dfrac{100}{24}:
P_1 = \frac{13.440\cdot 100}{24} = \frac{1.344.000}{24} = 56.000.
Analogamente,
P_2 = \frac{J_2}{0,30} = \frac{26.100}{0,30} = \frac{26.100\cdot 100}{30} = \frac{2.610.000}{30} = 87.000.

Passo 7

Somamos os dois capitais iniciais:
P_1 + P_2 = 56.000 + 87.000 = 143.000.
Fazendo uma checagem rápida: 0,24\cdot 56.000 = 13.440 e 0,30\cdot 87.000 = 26.100; soma 13.440+26.100=39.540 e diferença 26.100-13.440=12.660 — confere com o enunciado.

Resposta

(b) \$\,143.000

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