João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de
117.000
$108.000
(b)
160.000$
(c)
170.000$
(d)
180.000$
(e)
200.000$
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o capital inicial de João:
- João dividiu o capital inicial em duas partes iguais: cada parte vale metade do capital inicial.
- Uma metade foi aplicada a juros simples por
meses e resultou em montante de . - A outra metade foi aplicada a juros simples nas mesmas condições (mesma taxa) por
meses e resultou em montante de .
A pergunta é: qual era o capital inicial de João? (há opções de resposta fornecidas.)
Passo 2
Relembrando a fórmula do juro simples (aula rápida): o montante
obtido ao aplicar um capital
a juros simples por
períodos com taxa por período
(em forma decimal) é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o montante final (capital + juros). -
é o capital inicial aplicado. -
é a taxa de juro por período (ex.: se a taxa for ao mês, então ). -
é o número de períodos (aqui usamos meses, portanto em meses).
No nosso problema, chamamos o capital inicial total de. Cada metade é . Como a taxa é a mesma nas duas aplicações, chamamos a taxa mensal de .
Passo 3
Aplicamos a fórmula do juro simples a cada metade:
- Para a metade aplicada por
meses, o montante é , então
- Para a metade aplicada por
meses, o montante é , então
Temos assim um sistema com duas equações e duas incógnitas (
e
).
Passo 4
Para eliminar
de forma rápida, dividimos a primeira equação pela segunda:
Os fatores
cancelam, ficando
Simplificando a razão do lado direito:
. Dividindo numerador e denominador por
obtém-se
. Assim
Passo 5
Resolvendo a equação para
: multiplicamos em cruz,
Expandindo os parênteses:
Isolando
:
Interpretação: a taxa mensal é
, ou seja,
ao mês.
Passo 6
Agora voltamos a uma das equações para achar
. Usamos a segunda equação:
Substituindo
:
Isolando
:
Calculando
. Logo
.
Passo 7
Multiplicando por
para obter o capital total:
Encontramos o capital inicial de João.
Resposta
(d)