João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de \ 117.000 e$108.000 , respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: (a) \(\\) 150.000
(b) \ 160.000$
(c) \ 170.000$
(d) \ 180.000$
(e) \ 200.000$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o capital inicial de João:
  • João dividiu o capital inicial em duas partes iguais: cada parte vale metade do capital inicial.
  • Uma metade foi aplicada a juros simples por 6 meses e resultou em montante de \$117.000.
  • A outra metade foi aplicada a juros simples nas mesmas condições (mesma taxa) por 4 meses e resultou em montante de \$108.000.
    A pergunta é: qual era o capital inicial de João? (há opções de resposta fornecidas.)

Passo 2

Relembrando a fórmula do juro simples (aula rápida): o montante M obtido ao aplicar um capital C a juros simples por t períodos com taxa por período i (em forma decimal) é dado por
M = C(1 + i t).
Explicando cada símbolo:
  • M é o montante final (capital + juros).
  • C é o capital inicial aplicado.
  • i é a taxa de juro por período (ex.: se a taxa for 5\% ao mês, então i=0,05).
  • t é o número de períodos (aqui usamos meses, portanto t em meses).
    No nosso problema, chamamos o capital inicial total de C. Cada metade é \dfrac{C}{2}. Como a taxa é a mesma nas duas aplicações, chamamos a taxa mensal de r.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do juro simples a cada metade:
  • Para a metade aplicada por 6 meses, o montante é \$117.000, então
\frac{C}{2}\bigl(1 + 6r\bigr) = 117000.
  • Para a metade aplicada por 4 meses, o montante é \$108.000, então
\frac{C}{2}\bigl(1 + 4r\bigr) = 108000.
Temos assim um sistema com duas equações e duas incógnitas ( C e r).

Passo 4

Para eliminar C de forma rápida, dividimos a primeira equação pela segunda:
\frac{\dfrac{C}{2}(1+6r)}{\dfrac{C}{2}(1+4r)} = \frac{117000}{108000}.
Os fatores \dfrac{C}{2} cancelam, ficando
\frac{1+6r}{1+4r} = \frac{117000}{108000}.
Simplificando a razão do lado direito: \dfrac{117000}{108000}=\dfrac{117}{108}. Dividindo numerador e denominador por 9 obtém-se \dfrac{13}{12}. Assim
\frac{1+6r}{1+4r} = \frac{13}{12}.

Passo 5

Resolvendo a equação para r: multiplicamos em cruz,
12(1+6r)=13(1+4r).
Expandindo os parênteses:
12 + 72r = 13 + 52r.
Isolando r:
72r - 52r = 13 - 12 \implies 20r = 1 \implies r = \frac{1}{20} = 0,05.
Interpretação: a taxa mensal é r=0,05, ou seja, 5\% ao mês.

Passo 6

Agora voltamos a uma das equações para achar C. Usamos a segunda equação:
\frac{C}{2}(1+4r)=108000.
Substituindo r=0,05:
\frac{C}{2}\bigl(1 + 4\cdot 0,05\bigr) = \frac{C}{2}\bigl(1 + 0,20\bigr) = \frac{C}{2}\cdot 1{,}2 = 108000.
Isolando \dfrac{C}{2}:
\frac{C}{2} = \frac{108000}{1{,}2}.
Calculando \dfrac{108000}{1{,}2} = \dfrac{1080000}{12} = 90000. Logo \dfrac{C}{2}=90000.

Passo 7

Multiplicando por 2 para obter o capital total:
C = 2 \cdot 90000 = 180000.
Encontramos o capital inicial de João.

Resposta

(d) \$180.000

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