Um capital de
12.600
22 %$ a.a. Calcular o montante considerando-se que no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, trimestralmente; e no terceiro, bimestralmente.
Passo 1
O enunciado dá um capital inicial e pede o montante após três anos, com capitalização de juros mudando a cada ano. Mais explicitamente:
- Capital inicial:
. - Taxa nominal anual:
ao ano, isto é . - No 1.º ano a capitalização é semestral (duas capitalizações no ano).
- No 2.º ano a capitalização é trimestral (quatro capitalizações no ano).
- No 3.º ano a capitalização é bimestral (seis capitalizações no ano).
O que a questão pede: calcular o montante ao final dos três anos, isto é o valor acumulado depois da aplicação com essas capitalizações sucessivas.
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
- Quando uma taxa nominal anual
é capitalizada vezes por ano, a taxa por período (taxa periódica) é
Aqui
é a taxa aplicada a cada período (semestre, trimestre, bimestre, etc.).
- Se na sequência você tem
períodos com taxa periódica , o fator de acumulação nesse trecho é
- Em uma aplicação onde a capitalização muda ano a ano, você aplica o fator do primeiro ano ao capital inicial, obtém um novo capital, aplica o fator do segundo ano a esse novo capital, e assim por diante. Ou seja, o montante final é o produto dos fatores de cada ano vezes
.
Explicando as variáveis:
-
= capital inicial. -
= taxa nominal anual. -
= número de capitalizações por ano (depende do ano). -
= taxa por período. -
= número de períodos no ano (igual a quando estamos considerando exatamente um ano). - Montante após esse ano:
.
Passo 3
Aplicando ao 1.º ano (capitalização semestral):
- Aqui
(semestres por ano). - Taxa por período (por semestre):
- Número de períodos no ano:
. - Fator de acumulação no 1.º ano:
Passo 4
Montante ao fim do 1.º ano:
Fazendo a multiplicação:
(ou seja, ao fim do primeiro ano o capital cresceu para
.)
Passo 5
Aplicando ao 2.º ano (capitalização trimestral):
- Aqui
(trimestres por ano). - Taxa por período (por trimestre):
- Número de períodos no ano:
. - Fator de acumulação no 2.º ano:
Passo 6
Cálculo de
(uma forma prática: desenvolvimento binomial ou sucessivas multiplicações). Usando a expansão:
com
. Compute os termos:
Então
Passo 7
Montante ao fim do 2.º ano:
- Começamos o segundo ano com
. - Então
Multiplicando:
(este é o capital acumulado ao fim de dois anos.)
Passo 8
Aplicando ao 3.º ano (capitalização bimestral):
- Aqui
(bimestres por ano = capitalização a cada 2 meses). - Taxa por período (por bimestre):
- Número de períodos no ano:
. - Fator de acumulação no 3.º ano:
Passo 9
Cálculo de
usando a expansão binomial geral:
com
(isto é
). Calculando os termos (mostrando os valores aproximados):
Então
Passo 10
Montante ao fim do 3.º ano (montante final):
- Começando o terceiro ano com
e aplicando o fator do terceiro ano,
Multiplicando (arredondando o resultado ao centavo):
Portanto o montante final após três anos, com as capitalizações indicadas, é aproximadamente
.