Um capital de \ 12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal deêà22 %$ a.a. Calcular o montante considerando-se que no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, trimestralmente; e no terceiro, bimestralmente.

Passo 1

O enunciado dá um capital inicial e pede o montante após três anos, com capitalização de juros mudando a cada ano. Mais explicitamente:
  • Capital inicial: P = \$\,12.600.
  • Taxa nominal anual: 22\% ao ano, isto é r_{\text{nom}} = 22\% = 0,22.
  • No 1.º ano a capitalização é semestral (duas capitalizações no ano).
  • No 2.º ano a capitalização é trimestral (quatro capitalizações no ano).
  • No 3.º ano a capitalização é bimestral (seis capitalizações no ano).
O que a questão pede: calcular o montante ao final dos três anos, isto é o valor acumulado depois da aplicação com essas capitalizações sucessivas.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • Quando uma taxa nominal anual r_{\text{nom}} é capitalizada m vezes por ano, a taxa por período (taxa periódica) é
i=\frac{r_{\text{nom}}}{m}.
Aqui i é a taxa aplicada a cada período (semestre, trimestre, bimestre, etc.).
  • Se na sequência você tem n períodos com taxa periódica i, o fator de acumulação nesse trecho é
(1+i)^{n}.
  • Em uma aplicação onde a capitalização muda ano a ano, você aplica o fator do primeiro ano ao capital inicial, obtém um novo capital, aplica o fator do segundo ano a esse novo capital, e assim por diante. Ou seja, o montante final é o produto dos fatores de cada ano vezes P.
Explicando as variáveis:
  • P = capital inicial.
  • r_{\text{nom}} = taxa nominal anual.
  • m = número de capitalizações por ano (depende do ano).
  • i=\dfrac{r_{\text{nom}}}{m} = taxa por período.
  • n = número de períodos no ano (igual a m quando estamos considerando exatamente um ano).
  • Montante após esse ano: P\,(1+i)^{n}.

Passo 3

Aplicando ao 1.º ano (capitalização semestral):
  • Aqui m_1=2 (semestres por ano).
  • Taxa por período (por semestre):
i_1=\frac{0,22}{2}=0,11 \quad(\text{ou }11\% \text{ por semestre}).
  • Número de períodos no ano: n_1=2.
  • Fator de acumulação no 1.º ano:
(1+i_1)^{n_1}=(1+0,11)^{2}=1,11^{2}=1,2321.

Passo 4

Montante ao fim do 1.º ano:
A_1 = P\,(1+i_1)^{n_1}=12600\cdot 1,2321.
Fazendo a multiplicação:
A_1 = 12600\cdot 1,2321 = 15.524,46.
(ou seja, ao fim do primeiro ano o capital cresceu para 15.524,46.)

Passo 5

Aplicando ao 2.º ano (capitalização trimestral):
  • Aqui m_2=4 (trimestres por ano).
  • Taxa por período (por trimestre):
i_2=\frac{0,22}{4}=0,055 \quad(\text{ou }5{,}5\% \text{ por trimestre}).
  • Número de períodos no ano: n_2=4.
  • Fator de acumulação no 2.º ano:
(1+i_2)^{n_2}=(1+0,055)^{4}=(1,055)^{4}.

Passo 6

Cálculo de (1,055)^{4} (uma forma prática: desenvolvimento binomial ou sucessivas multiplicações). Usando a expansão:
(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}
com x=0,055. Compute os termos:
x=0,055,\quad x^{2}=0,003025,\quad x^{3}=0,000166375,\quad x^{4}=0,000009150625.
Então
(1,055)^{4}=1 + 4\cdot0,055 + 6\cdot0,003025 + 4\cdot0,000166375 + 0,000009150625
=1 + 0,22 + 0,01815 + 0,0006655 + 0,000009150625 =1,238824650625.

Passo 7

Montante ao fim do 2.º ano:
  • Começamos o segundo ano com A_1 = 15.524,46.
  • Então
A_2 = A_1\,(1+i_2)^{n_2}=15.524,46\cdot 1,238824650625.
Multiplicando:
A_2 \approx 19.232,0837356418.
(este é o capital acumulado ao fim de dois anos.)

Passo 8

Aplicando ao 3.º ano (capitalização bimestral):
  • Aqui m_3=6 (bimestres por ano = capitalização a cada 2 meses).
  • Taxa por período (por bimestre):
i_3=\frac{0,22}{6}=0,036666\ldots \quad(\text{aprox. }3{,}6666\%\\ \text{por bimestre}).
  • Número de períodos no ano: n_3=6.
  • Fator de acumulação no 3.º ano:
(1+i_3)^{n_3}=\Bigl(1+\frac{0,22}{6}\Bigr)^{6}=\bigl(1+0,036666\ldots\bigr)^{6}.

Passo 9

Cálculo de \bigl(1+0,036666\ldots\bigr)^{6} usando a expansão binomial geral:
(1+x)^{6}=1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6}
com x=0,036666\ldots (isto é x=\dfrac{0,22}{6}). Calculando os termos (mostrando os valores aproximados):
x=0,036666\ldots,\quad x^{2}=0,0013444444,\quad x^{3}=0,00004933333,\quad x^{4}=0,0000018097778,
x^{5}\approx 0,0000000664,\quad x^{6}\approx 0,00000000243333.
Então
(1+i_3)^{6}\approx 1 + 6\cdot0,036666\ldots + 15\cdot0,0013444444 + 20\cdot0,00004933333 + 15\cdot0,0000018097778
\quad\quad + 6\cdot0,0000000664 + 0,00000000243333 \approx 1,2411808808333333.

Passo 10

Montante ao fim do 3.º ano (montante final):
  • Começando o terceiro ano com A_2 \approx 19.232,0837356418 e aplicando o fator do terceiro ano,
A_3 = A_2\,(1+i_3)^{6} \approx 19.232,0837356418 \cdot 1,2411808808333333.
Multiplicando (arredondando o resultado ao centavo):
A_3 \approx 23.870,65.
Portanto o montante final após três anos, com as capitalizações indicadas, é aproximadamente \$\,23.870,65.

Resposta

\$23.870,65

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