Determine e classifique os pontos estacionários da função:
f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{5}-(\mathrm{y}-3 \mathrm{x})^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine e classifique os pontos estacionários da função
f(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}^{5}-(\mathrm{y}-3\mathrm{x})^{2}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(\mathrm{x},\mathrm{y}). Pergunta: encontrar todos os pontos onde as derivadas parciais são nulas (pontos estacionários) e dizer se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras de f. Vou explicar o que faço passo a passo.
Definição usada: a derivada parcial de f em relação a \mathrm{x} é a derivada considerando \mathrm{y} constante; em relação a \mathrm{y} é a derivada considerando \mathrm{x} constante.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\left(\mathrm{x}^{5}\right)=5\mathrm{x}^{4}.
Para (\mathrm{y}-3\mathrm{x})^{2} uso a regra da cadeia: derivada de g(\mathrm{x},\mathrm{y})^{2} é 2g\cdot g_{\mathrm{x}}. Aqui g(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{y}-3\mathrm{x}, então g_{\mathrm{x}}=-3. Como o termo aparece com sinal negativo em f, temos
\frac{\partial f}{\partial \mathrm{x}}=5\mathrm{x}^{4}-2(\mathrm{y}-3\mathrm{x})(-3)=5\mathrm{x}^{4}+6(\mathrm{y}-3\mathrm{x}).
Agora a derivada parcial em relação a \mathrm{y}: \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\left(\mathrm{x}^{5}\right)=0 e pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial \mathrm{y}}=-2(\mathrm{y}-3\mathrm{x}).

Passo 3

Encontrar pontos estacionários resolvendo o sistema \frac{\partial f}{\partial \mathrm{x}}=0 e \frac{\partial f}{\partial \mathrm{y}}=0.
Do segundo equação:
-2(\mathrm{y}-3\mathrm{x})=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{y}-3\mathrm{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{y}=3\mathrm{x}.
Substituo na primeira equação:
5\mathrm{x}^{4}+6(\mathrm{y}-3\mathrm{x})=5\mathrm{x}^{4}+6\cdot 0=5\mathrm{x}^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{x}=0.
Com \mathrm{x}=0 vem \mathrm{y}=3\cdot 0=0. Logo há exatamente um ponto estacionário: (0,0).

Passo 4

Para classificar, calculo as segundas derivadas parciais (Hessiana). Vou explicar o que cada termo representa.
Derivadas segundas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial \mathrm{x}^{2}}=\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\big(5\mathrm{x}^{4}+6(\mathrm{y}-3\mathrm{x})\big)=20\mathrm{x}^{3}+6\cdot(-3)=20\mathrm{x}^{3}-18.
\frac{\partial^{2} f}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}}=\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(5\mathrm{x}^{4}+6(\mathrm{y}-3\mathrm{x})\big)=6.
\frac{\partial^{2} f}{\partial \mathrm{y}^{2}}=\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(-2(\mathrm{y}-3\mathrm{x})\big)=-2.
Observação didática: a matriz Hessiana é
H(\mathrm{x},\mathrm{y})=\begin{pmatrix} f_{\mathrm{xx}} & f_{\mathrm{xy}}\\[4pt] f_{\mathrm{yx}} & f_{\mathrm{yy}} \end{pmatrix},
com f_{\mathrm{xy}}=f_{\mathrm{yx}} quando f é suficientemente suave (aqui é o caso).]

Passo 5

Avalio as segundas derivadas em (0,0):
f_{\mathrm{xx}}(0,0)=20\cdot 0^{3}-18=-18,\qquad f_{\mathrm{xy}}(0,0)=6,\qquad f_{\mathrm{yy}}(0,0)=-2.
Calculo o determinante da Hessiana (chamado de discriminante da segunda derivada):
D = f_{\mathrm{xx}}(0,0)\,f_{\mathrm{yy}}(0,0)-\big(f_{\mathrm{xy}}(0,0)\big)^{2}=(-18)(-2)-6^{2}=36-36=0.
Quando D>0 e f_{\mathrm{xx}}>0 temos mínimo local; quando D>0 e f_{\mathrm{xx}}<0 temos máximo local; quando D<0 temos ponto de sela; mas aqui D=0 e o teste é inconclusivo — ou seja, a segunda derivada não nos dá a resposta, preciso investigar mais.

Passo 6

Como o teste das segundas derivadas deu inconclusivo, uso análise de curvas (fatias) para ver o comportamento de f perto de (0,0). A ideia: se em qualquer vizinhança de (0,0) a função toma valores maiores e menores do que f(0,0)=0, então é ponto de sela.
Escolho duas curvas simples que passam por (0,0) e calculo f restrita a elas.
Primeira curva: a reta \mathrm{y}=3\mathrm{x}. Substituo na função (uso a informação \mathrm{y}=3\mathrm{x} que já apareceu antes):
f(\mathrm{x},3\mathrm{x})=\mathrm{x}^{5}-(3\mathrm{x}-3\mathrm{x})^{2}=\mathrm{x}^{5}-0=\mathrm{x}^{5}.
Para \mathrm{x}>0 pequeno temos \mathrm{x}^{5}>0. Para \mathrm{x}<0 pequeno temos \mathrm{x}^{5}<0. Portanto pela reta \mathrm{y}=3\mathrm{x} a função assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de (0,0).
Segunda curva: a reta \mathrm{x}=0. Substituo na função:
f(0,\mathrm{y})=0^{5}-(\mathrm{y}-0)^{2}=-\mathrm{y}^{2}.
Para qualquer \mathrm{y}\neq 0 pequeno temos f(0,\mathrm{y})<0.

Passo 7

Conclusão da análise local: já que existem trajetórias arbitrariamente próximas de (0,0) em que f é positivo (por exemplo, escolher \mathrm{y}=3\mathrm{x} com \mathrm{x}>0 pequeno) e outras em que f é negativo (por exemplo \mathrm{x}=0 com \mathrm{y}\neq 0 pequeno), a vizinhança de (0,0) contém pontos com valores maiores e menores que f(0,0)=0. Isso caracteriza um ponto de sela (nem máximo local nem mínimo local).
Posso dar um exemplo numérico para intuir: tomando \mathrm{x}=0{,}01 e \mathrm{y}=3\mathrm{x}=0{,}03 temos f\approx (0{,}01)^{5}=10^{-10}>0; tomando \mathrm{x}=0 e \mathrm{y}=0{,}01 temos f\approx - (0{,}01)^{2}=-10^{-4}<0. Ambos estão arbitrariamente perto da origem, com sinais opostos.

Resposta

(0,0) — ponto de sela

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