Determine e classifique os pontos estacionários da função:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine e classifique os pontos estacionários da função
Informações dadas: a expressão explícita de
. Pergunta: encontrar todos os pontos onde as derivadas parciais são nulas (pontos estacionários) e dizer se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras de
. Vou explicar o que faço passo a passo.
Definição usada: a derivada parcial de
em relação a
é a derivada considerando
constante; em relação a
é a derivada considerando
constante.
Derivando termo a termo:
Para
uso a regra da cadeia: derivada de
é
. Aqui
, então
. Como o termo aparece com sinal negativo em
, temos
Agora a derivada parcial em relação a
:
e pela regra da cadeia
Passo 3
Encontrar pontos estacionários resolvendo o sistema
e
.
Do segundo equação:
Substituo na primeira equação:
Com
vem
. Logo há exatamente um ponto estacionário:
.
Passo 4
Para classificar, calculo as segundas derivadas parciais (Hessiana). Vou explicar o que cada termo representa.
Derivadas segundas:
Observação didática: a matriz Hessiana é
com
quando
é suficientemente suave (aqui é o caso).]
Passo 5
Avalio as segundas derivadas em
:
Calculo o determinante da Hessiana (chamado de discriminante da segunda derivada):
Quando
e
temos mínimo local; quando
e
temos máximo local; quando
temos ponto de sela; mas aqui
e o teste é inconclusivo — ou seja, a segunda derivada não nos dá a resposta, preciso investigar mais.
Passo 6
Como o teste das segundas derivadas deu inconclusivo, uso análise de curvas (fatias) para ver o comportamento de
perto de
. A ideia: se em qualquer vizinhança de
a função toma valores maiores e menores do que
, então é ponto de sela.
Escolho duas curvas simples que passam por
e calculo
restrita a elas.
Primeira curva: a reta
. Substituo na função (uso a informação
que já apareceu antes):
Para
pequeno temos
. Para
pequeno temos
. Portanto pela reta
a função assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de
.
Segunda curva: a reta
. Substituo na função:
Para qualquer
pequeno temos
.
Passo 7
Conclusão da análise local: já que existem trajetórias arbitrariamente próximas de
em que
é positivo (por exemplo, escolher
com
pequeno) e outras em que
é negativo (por exemplo
com
pequeno), a vizinhança de
contém pontos com valores maiores e menores que
. Isso caracteriza um ponto de sela (nem máximo local nem mínimo local).
Posso dar um exemplo numérico para intuir: tomando
e
temos
; tomando
e
temos
. Ambos estão arbitrariamente perto da origem, com sinais opostos.