Sejam a, b e c números reais distintos dois a dois e não nulos tais que
valor de
é igual a:
(a) O
(b) 1
(c) 3
(d) 9
(e) 27
(a) O
(b) 1
(c) 3
(d) 9
(e) 27
Passo 1
O enunciado dá que
são números reais distintos dois a dois, não nulos, e satisfazem
Pede-se o valor do produto
Vou chamar a primeira soma de
e a segunda de
, ou seja:
O objetivo final é encontrar
usando apenas a condição
.
Passo 2
Vamos simplificar
. Primeiro escrevo cada termo sobre o denominador comum
. Fazendo as somas com cuidado:
Juntando termos e colocando sobre o denominador
obtemos
Para ver isso explicitamente, note que, por exemplo, juntar
e
dá
e, usando
, segue o rearranjo que leva à forma acima. Portanto escrevo
Passo 3
Agora simplificamos
. Coloco tudo sobre o denominador comum
Para cada termo, multiplico para obter numerador comum:
Somando:
Observe que
(porque
), e análogo para os outros termos, logo
Agora uso a identidade
. Como
temos
, então
Multiplicando por
:
Somando para
:
Mas, quando
, vale a conhecida identidade
. Substituindo:
Portanto
Assim
Passo 4
Multiplico
por
. Usando
e
segue
Portanto falta relacionar
com
.
Passo 5
Mostro a relação entre
e
. Defino
Faço a expansão cuidadosa:
Cancelando
com
e reunindo termos:
Ou seja
Portanto
.
Passo 6
Substituo
em
:
Logo o produto pedido é sempre
, independente dos valores particulares de
(desde que satisfaçam
e sejam não nulos e distintos).
Resposta
(d)