Sejam a, b e c números reais distintos dois a dois e não nulos tais que a+b+c=0.0 valor de
\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right) é igual a:
(a) O
(b) 1
(c) 3
(d) 9
(e) 27

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números reais distintos dois a dois, não nulos, e satisfazem
a+b+c=0.
Pede-se o valor do produto
\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right).
Vou chamar a primeira soma de A e a segunda de B, ou seja:
A=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c},\qquad B=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}.
O objetivo final é encontrar A\cdot B usando apenas a condição a+b+c=0.

Passo 2

Vamos simplificar A. Primeiro escrevo cada termo sobre o denominador comum abc. Fazendo as somas com cuidado:
A=\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}+\frac{a}{c}-\frac{b}{c}.
Juntando termos e colocando sobre o denominador abc obtemos
A=\frac{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}{abc}.
Para ver isso explicitamente, note que, por exemplo, juntar b/a e -a/b \dfrac{b^2-a^2}{ab}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{ab} e, usando a+b=-c, segue o rearranjo que leva à forma acima. Portanto escrevo
A=\frac{N_A}{abc}\quad\text{com}\quad N_A:=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b).

Passo 3

Agora simplificamos B. Coloco tudo sobre o denominador comum
D:=(b-c)(c-a)(a-b).
Para cada termo, multiplico para obter numerador comum:
\frac{a}{b-c}=\frac{a(c-a)(a-b)}{D},\qquad \frac{b}{c-a}=\frac{b(a-b)(b-c)}{D},\qquad \frac{c}{a-b}=\frac{c(b-c)(c-a)}{D}.
Somando:
B=\frac{a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)}{D}.
Observe que a(c-a)(a-b)=-a(a-b)(a-c) (porque c-a=-(a-c)), e análogo para os outros termos, logo
\begin{aligned} N_B&:=a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)\\\ &= -\big(a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\big). \end{aligned}
Agora uso a identidade (a-b)(a-c)=a^2-a(b+c)+bc. Como a+b+c=0 temos b+c=-a, então
(a-b)(a-c)=a^2-a(-a)+bc=2a^2+bc.
Multiplicando por a:
a(a-b)(a-c)=2a^3+abc.
Somando para a,b,c:
\sum_{\text{cyc}} a(a-b)(a-c)=2(a^3+b^3+c^3)+3abc.
Mas, quando a+b+c=0, vale a conhecida identidade a^3+b^3+c^3=3abc. Substituindo:
\sum_{\text{cyc}} a(a-b)(a-c)=2\cdot 3abc +3abc =9abc.
Portanto
N_B = -9abc.
Assim
B=\frac{N_B}{D}=\frac{-9abc}{(b-c)(c-a)(a-b)}.

Passo 4

Multiplico A por B. Usando A=\dfrac{N_A}{abc} e B=\dfrac{-9abc}{D} segue
A\cdot B=\frac{N_A}{abc}\cdot\frac{-9abc}{D}=-9\frac{N_A}{D}.
Portanto falta relacionar N_A com D.

Passo 5

Mostro a relação entre N_A e D. Defino
D=(a-b)(b-c)(c-a).
Faço a expansão cuidadosa:
\begin{aligned} D&=(a-b)(b-c)(c-a)\\\ &=(a-b)\big(bc-ba-c^2+ca\big)\\\ &=abc-b^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2+a^2c-abc. \end{aligned}
Cancelando abc com -abc e reunindo termos:
D = -a^2(b-c) - b^2(c-a) - c^2(a-b).
Ou seja
D = -\big(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\big) = -N_A.
Portanto N_A=-D.

Passo 6

Substituo N_A=-D em A\cdot B=-9\frac{N_A}{D}:
A\cdot B=-9\frac{N_A}{D}=-9\frac{-D}{D}=9.
Logo o produto pedido é sempre 9, independente dos valores particulares de a,b,c (desde que satisfaçam a+b+c=0 e sejam não nulos e distintos).

Resposta

(d) 9

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