Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação para
:
Informações dadas: a expressão contém potências de base
e
em função de
. A incógnita é
(procuramos todos os
reais que satisfazem a igualdade).
Passo 2
Observação útil (propriedade de potências):
. Em particular,
Isso significa que a expressão em
pode ser escrita em termos de
. Essa reescrita é a chave para transformar a equação em uma equação polinomial (mais fácil de resolver).
Passo 3
Faço a substituição
. Note que
para todo
real, porque
nunca é zero nem negativo. Usando a igualdade do passo anterior,
. Substituindo na equação original obtemos a equação quadrática em
:
Passo 4
Resolvendo a quadrática
. Podemos fatorar procurando dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Assim,
Logo as soluções para
são
Passo 5
Voltando à variável
pela substituição
:
- Se
, então , pois . - Se
, reconhecemos , então .
(Alternativamente, poderia-se aplicar logaritmo:
, o que dá
e
.)
Passo 6
Verificação rápida (substituir na equação original):
- Para
: . - Para
: .
Ambas satisfazem a equação, portanto são válidas.