4^{x}-9 \cdot 2^{x}+8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação para x:
4^{x}-9\cdot 2^{x}+8=0.
Informações dadas: a expressão contém potências de base 4 e 2 em função de x. A incógnita é x (procuramos todos os x reais que satisfazem a igualdade).

Passo 2

Observação útil (propriedade de potências): (a^b)^c = a^{bc}. Em particular,
4^{x} = (2^2)^{x} = 2^{2x} = (2^{x})^{2}.
Isso significa que a expressão em 4^{x} pode ser escrita em termos de 2^{x}. Essa reescrita é a chave para transformar a equação em uma equação polinomial (mais fácil de resolver).

Passo 3

Faço a substituição y = 2^{x}. Note que y>0 para todo x real, porque 2^{x} nunca é zero nem negativo. Usando a igualdade do passo anterior, 4^{x}=(2^{x})^{2}=y^{2}. Substituindo na equação original obtemos a equação quadrática em y:
y^{2}-9y+8=0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática y^{2}-9y+8=0. Podemos fatorar procurando dois números cuja soma seja -9 e cujo produto seja 8. Esses números são -1 e -8. Assim,
y^{2}-9y+8=(y-1)(y-8)=0.
Logo as soluções para y são
y=1 \quad\text{ou}\quad y=8.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição y=2^{x}:
  • Se 2^{x}=1, então x=0, pois 2^{0}=1.
  • Se 2^{x}=8, reconhecemos 8=2^{3}, então x=3.
(Alternativamente, poderia-se aplicar logaritmo: x=\log_{2}(y), o que dá x=\log_{2}(1)=0 e x=\log_{2}(8)=3.)

Passo 6

Verificação rápida (substituir na equação original):
  • Para x=0: 4^{0}-9\cdot 2^{0}+8 = 1 - 9 + 8 = 0.
  • Para x=3: 4^{3}-9\cdot 2^{3}+8 = 64 - 72 + 8 = 0.
Ambas satisfazem a equação, portanto são válidas.

Resposta

x=0\n x=3

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