Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20 % ao ano. Qual é o menor número inteiro de anos necessários para que o montante dessa operação seja: o triplo do capital?

Passo 1

O enunciado pede o menor número inteiro de anos para que um capital aplicado a juros compostos a 20% ao ano triplique. O conteúdo da matéria é juros compostos e vamos precisar usar também logaritmos para resolver a desigualdade que surge.

Passo 2

Em juros compostos, o montante após n anos é dado por:
M = C ,(1 + i)^n
onde C é o capital inicial e i a taxa de juros (no caso, i = 0,20, ou seja, 20%).

Passo 3

Para que o montante seja o triplo do capital, impomos:
M >= 3C
Substituindo a fórmula do montante e cancelando C, temos:
(1,2)^n >= 3

Passo 4

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar n:
n ln(1,2) >= ln(3)
Portanto,
n >= ln(3)ln(1,2) approx 6,03
Como n deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a condição é 7.

Resposta

7 anos

Exercícios relacionados