Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5 \% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
o dobro da quantia aplicada?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tempo mínimo para que um capital aplicado a juros simples, à taxa de 5\% ao mês, possa ser resgatado no dobro da quantia aplicada.
Informações dadas: capital inicial (que vou chamar de C), regime de capitalização = juros simples, taxa mensal 5\% (isto é, 5\% a.m.). Pergunta: qual o menor t (em meses) tal que o montante A seja igual a 2C.

Passo 2

Definimos as variáveis e a fórmula que vamos usar. Seja C o capital aplicado, r a taxa por período (por mês), t o número de períodos (meses) e A o montante (quantia resgatada). Em juros simples a fórmula do montante é
A = C\,(1 + r\,t).
Explicação dessa fórmula (passo a passo): o juro total acumulado em t períodos é igual a juros por período multiplicado pelo capital e pelo número de períodos, isto é I = C\cdot r \cdot t. O montante A é o capital mais os juros: A = C + I = C + C r t = C(1 + r t). Aqui r deve estar em forma decimal (por exemplo 5\% vira 0,05).

Passo 3

Aplicamos a condição de “dobrar a quantia aplicada”: queremos A = 2C. Substituindo na fórmula do montante temos
C(1 + r\,t) = 2C.
Como C é o capital inicial e supondo C\neq 0, podemos dividir ambos os lados por C e obter
1 + r\,t = 2.

Passo 4

Isolamos t. Da equação 1 + r\,t = 2 vem
r\,t = 1 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{r}.
Agora substituímos r pela taxa mensal 5\%. Em forma decimal isso é r = 0,05. Logo
t = \frac{1}{0,05}.
Calculemos essa fração: 0,05 = \dfrac{5}{100}, então \dfrac{1}{0,05} = \dfrac{1}{5/100} = \dfrac{100}{5} = 20. Portanto t = 20 meses.

Passo 5

Verificação rápida: coloque t=20 na fórmula do montante para checar:
A = C(1 + 0,05\cdot 20) = C(1 + 1) = 2C,
ou seja, realmente dobra. Sobre o termo “mínimo”: em juros simples o montante cresce linearmente com t. Antes de t=20 meses teríamos A<2C; exatamente em t=20 meses \,A=2C; para t>20 meses A>2C. Assim o menor tempo que atende à condição é 20 meses.

Passo 6

Conversão para anos (se for útil): 20 meses equivalem a \dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3} anos, isto é 1 ano e 8 meses ( 1 ano e 8 meses = 1\frac{8}{12}=1\frac{2}{3} anos).

Passo 7

Resumo e incentivo: fizemos a conta limpa e checkamos o resultado. Se você decorar a fórmula A=C(1+rt) e lembrar que em juros simples o crescimento é linear, resolver questões assim vira só aplicar álgebra básica. Você já está quase lá — manda mais que eu te explico passo a passo como nos exercícios da prova!

Resposta

20 meses

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