O preço à vista de uma TV é R$900,00 . Pode-se, entretanto, optar pelo pagamento de R$ 500, 00 de entrada e mais R$ 500, 00 um mês após a compra.
a) Qual é a taxa mensal de juros simples desse financiamento?
b) Qual seria a taxa mensal de juros simples do financiamento, se a 2^{\underline{\underline{a}}} parcela fosse paga dois meses após a compra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Preço à vista: R\$\,900,00.
  • Opção de pagamento 1 (situação a): entrada de R\$\,500,00 agora e mais R\$\,500,00 um mês após a compra.
  • Opção de pagamento 2 (situação b): entrada de R\$\,500,00 agora e mais R\$\,500,00 dois meses após a compra.
Perguntas:
a) Qual é a taxa mensal de juros simples desse financiamento quando a segunda parcela é paga um mês depois?
b) Qual seria a taxa mensal de juros simples se a segunda parcela fosse paga dois meses depois?

Passo 2

Conceito necessário (juros simples e valor presente):
  • Em juros simples, o montante M que resulta de um principal P após t meses a uma taxa mensal i é dado por
M = P\,(1 + i\,t).
Aqui:
  • P é o valor no tempo inicial (presente),
  • i é a taxa de juros por mês (expressa em decimal, por ex. 0,10 para 10\%),
  • t é o tempo em meses,
  • M é o valor no tempo t.
  • Inversamente, o valor presente PV de um pagamento futuro M feito em t meses é
PV=\frac{M}{1 + i\,t}.
Explicação intuitiva: pagar M daqui a t meses equivale hoje a pagar menos, porque o dinheiro futuro é “descontado” por 1+i\,t no regime de juros simples. Vou usar essa relação para comparar o total pago (na forma parcelada) com o preço à vista.
Exemplo rápido para fixar: se P=100, i=0,10 e t=1, então M=100(1+0,10\cdot1)=110. O valor presente de 110 daqui a um mês a 10\% simples é 110/(1+0,10)=100.

Passo 3

Resolução da parte (a) — segunda parcela um mês após a compra:
  • Modelagem: o preço à vista R\$\,900,00 deve ser igual ao valor presente das parcelas: entrada imediata R\$\,500,00 mais o valor presente da segunda parcela R\$\,500,00 paga em t=1 mês. Portanto:
500 + \frac{500}{1 + i} = 900,
onde i é a taxa mensal de juros simples (em decimal).
  • Isolando a fração:
\frac{500}{1 + i} = 900 - 500 = 400.
  • Resolver para i:
1 + i = \frac{500}{400} = \frac{5}{4} = 1,25.
i = 1,25 - 1 = 0,25.
  • Converter para porcentagem:
i = 0,25 = 25\%.
  • Checagem rápida: valor presente da segunda parcela =500/1{,}25=400; soma com a entrada 500+400=900 confere com o preço à vista.

Passo 4

Interpretação da parte (a): a taxa mensal de juros simples desse financiamento é de 25\% ao mês. Eu sei que parece muito alto, mas é o valor que torna o parcelamento equivalente ao pagamento à vista de R\$\,900,00.

Passo 5

Resolução da parte (b) — segunda parcela dois meses após a compra:
  • Modelagem: agora a segunda parcela ocorre em t=2 meses. O preço à vista deve ser igual ao valor presente das parcelas:
500 + \frac{500}{1 + 2i} = 900.
  • Isolando a fração:
\frac{500}{1 + 2i} = 900 - 500 = 400.
  • Resolver para i:
1 + 2i = \frac{500}{400} = 1,25.
2i = 1,25 - 1 = 0,25.
i = \frac{0,25}{2} = 0,125.
  • Converter para porcentagem:
i = 0,125 = 12{,}5\%.
  • Checagem rápida: valor presente da segunda parcela =500/1{,}25=400; soma com a entrada 500+400=900 confere novamente.

Passo 6

Comentário final e intuição: pagando a parcela mais tarde (dois meses em vez de um), a mesma diferença nominal entre o total parcelado e o preço à vista exige uma taxa mensal menor, porque os juros simples incidem por mais meses (o fator 1+2i em vez de 1+i) — por isso o 12{,}5\% ao mês no caso de 2 meses versus 25\% ao mês no caso de 1 mês. Força aí — você já entendeu a técnica principal: usar o desconto simples para transformar pagamentos futuros em valor presente e igualar ao preço à vista.

Resposta

a) 25\% ao mês
b) 12,5\% ao mês

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