Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de
a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
a quantia aplicada acrescida de
de juros?
a quantia aplicada acrescida de
Passo 1
O enunciado pede o tempo mínimo para que uma aplicação a juros simples, à taxa de
ao mês, renda juros equivalentes a
do capital aplicado, ou seja, para que se possa resgatar a quantia aplicada acrescida de
de juros. Informações relevantes:
- taxa de juros
ao mês, isto é (por mês); - juros simples;
- queremos que os juros acumulados sejam
do capital, isto é , onde é o capital inicial; - objetivo: determinar o tempo
(em meses) necessário.
Passo 2
Vamos definir e explicar as fórmulas que usamos (devagar e com jeitinho, como num gabarito mastigado).
-
é o capital inicial (quantia aplicada). -
é a taxa de juros por período (aqui por mês). -
é o número de períodos (aqui em meses). -
é o total de juros acumulados em períodos.
No regime de juros simples existe a fórmula básica
que significa: os juros são proporcionais ao capital, à taxa e ao tempo. Assim, o montante (valor resgatado) é
Exemplo rápido para fixar: se
,
e
mês, então
e
.
Passo 3
Agora aplicamos os dados do problema. Queremos que os juros
sejam
, ou seja:
Usando a fórmula dos juros simples
, substituímos:
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
), o que cancela o capital:
Agora isolamos
:
Substituindo
:
Para calcular sem mistério: multiplica-se numerador e denominador por
, ou nota-se que
. Assim
Passo 4
Interpretação final:
significa
meses. Em anos, isso equivale a
ano e
meses. Portanto, o tempo mínimo que o capital deve ficar aplicado é
meses. Força — você já viu a ideia, não é tão assustador!