Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5 \% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
a quantia aplicada acrescida de 80 \% de juros?

Passo 1

O enunciado pede o tempo mínimo para que uma aplicação a juros simples, à taxa de 5\% ao mês, renda juros equivalentes a 80\% do capital aplicado, ou seja, para que se possa resgatar a quantia aplicada acrescida de 80\% de juros. Informações relevantes:
  • taxa de juros i = 5\% ao mês, isto é i = 0,05 (por mês);
  • juros simples;
  • queremos que os juros acumulados sejam 80\% do capital, isto é J = 0{,}8P, onde P é o capital inicial;
  • objetivo: determinar o tempo t (em meses) necessário.

Passo 2

Vamos definir e explicar as fórmulas que usamos (devagar e com jeitinho, como num gabarito mastigado).
  • P é o capital inicial (quantia aplicada).
  • i é a taxa de juros por período (aqui por mês).
  • t é o número de períodos (aqui em meses).
  • J é o total de juros acumulados em t períodos.
    No regime de juros simples existe a fórmula básica
J = P \, i \, t,
que significa: os juros são proporcionais ao capital, à taxa e ao tempo. Assim, o montante (valor resgatado) é
M = P + J = P(1 + i t).
Exemplo rápido para fixar: se P=100, i=0{,}05 e t=1 mês, então J=100\cdot0{,}05\cdot1=5 e M=105.

Passo 3

Agora aplicamos os dados do problema. Queremos que os juros J sejam 0{,}8P, ou seja:
J = 0{,}8P.
Usando a fórmula dos juros simples J = P i t, substituímos:
P i t = 0{,}8P.
Podemos dividir ambos os lados por P (assumindo P>0), o que cancela o capital:
i t = 0{,}8.
Agora isolamos t:
t = \frac{0{,}8}{i}.
Substituindo i = 0{,}05:
t = \frac{0{,}8}{0{,}05}.
Para calcular sem mistério: multiplica-se numerador e denominador por 100, ou nota-se que 0{,}05\cdot 16 = 0{,}80. Assim
t = 16.

Passo 4

Interpretação final: t=16 significa 16 meses. Em anos, isso equivale a 1 ano e 4 meses. Portanto, o tempo mínimo que o capital deve ficar aplicado é 16 meses. Força — você já viu a ideia, não é tão assustador!

Resposta

16 meses (ou 1 ano e 4 meses)

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