Um capital de R éà10 %$ ao ano.
Qual é o tempo mínimo necessário para que o montante dessa aplicação seja R 10^{0,30} \cong 2 10^{1,04}=11$.

Passo 1

O enunciado nos dá um capital inicial de P = 5000 reais aplicado a juros compostos à taxa de i = 10% ao ano, e pede o tempo mínimo n para que o montante atinja M = 20000 reais. Vamos usar a fórmula de juros compostos.

Passo 2

A fórmula do montante em juros compostos é
M = P,(1 + i)^n
Substituindo os valores conhecidos, obtemos
20000 = 5000 times 1,1^,n Longrightarrow 1,1^,n = 200005000 = 4

Passo 3

Para encontrar n, tomamos logaritmo decimal em ambos os lados:
n ,log10(1,1) = log10(4) Longrightarrow n = log10(4)log10(1,1)

Passo 4

Usando as aproximações fornecidas:
,10^0,30 cong 2 implica log10(2)=0,30, e
,10^1,04 = 11 implica log10(11)=1,04.
Logo
log10(4) = log10(2^2) = 2 times 0,30 = 0,60,
log10(1,1) = log10l(tfrac1110r) = log10(11) - log10(10) = 1,04 - 1 = 0,04

Passo 5

Substituindo esses valores em n = 0,600,04, temos
n = 15
Verificando, para n=14 anos o montante fica abaixo de R$ 20000, então o mínimo inteiro é 15 anos.

Resposta

15 anos.

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