Um capital ficou aplicado durante determinado prazo, rendendo juros compostos o valor de R . Se o saldo acumulado permanecer aplicado, à mesma taxa de juros, por mais 5 meses, o montante de toda a operação será de Se o saldo acumulado permanecer aplicado, à mesma taxa de juros, por mais 5 meses, o montante de toda a operação será de 97142,84 . Se a taxa de juros é de a.m., qual foi o prazo total da aplicação?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo.
• Conteúdo: juros compostos.
• O que temos: um capital 14 707,82 em juros compostos Depois deixaram esse montante mais 5 meses à mesma taxa de 9,5% ao mês, e aí o total ficou R aplicado por um certo tempo , que “rendeu” R$ 14 707,82 em juros compostos. Depois deixaram esse montante mais 5 meses à mesma taxa de 9,5% ao mês, e aí o total ficou R$ 97 142,84.
• O que queremos: descobrir o prazo total, ou seja, meses.

Passo 2

Primeiro vamos traduzir isso em fórmulas.
  1. Montante depois de meses:
    .
    Mas o enunciado diz que o juros obtido foi R$ 14 707,82, ou seja:
    .
  2. Depois desses meses, aplicaram o próprio por mais 5 meses, gerando:
    .
    E a taxa é ao mês.

Passo 3

Agora escrevemos as duas equações:
(1) P = 97,142,84(1+i)^,n+5 .
(2) .
Vamos usar (2) para isolar :

Passo 4

Substituindo esse 97,142,84(1+i)^n+5;l[(1+i)^n -1r] ;=;14,707,82 em (1):
97,142,84l[1(1+i)^5 - 1(1+i)^n+5r] =14,707,82
Fatoramos 97,142,84;1(1+i)^5;l[1 - 1(1+i)^nr] =14,707,82 :
1 - 1(1+i)^n =14,707,8297,142,84,(1+i)^5
É mais fácil reescrever como
Divide ambos os lados por :

Passo 5

Calculando os números:
1 - 1(1,095)^n = 0,2417 Longrightarrow 1(1,095)^n = 1 - 0,2417 = 0,7583 .
(1,095)^n = 10,7583approx1,3188 .
Então o lado direito dá n = ln(1,3188)ln(1,095) approx 0,27610,0907approx3,05 meses .
Invertemos:
Para achar usamos log:
Arredondando faz sentido meses.

Resposta

O prazo total da aplicação foi de meses.

Exercícios relacionados