Considere X uma v.a. continua com função densidade de probabilidade dada por
f(x)=l 0 ; x<-1 1+x ;-11
Determine a esperança matemática e a variância.

Passo 1

O enunciado diz que f(x)= 0, & x<-1, 1+x, & -11 é uma v.a. contínua com densidade
E[X]=integral-infty^infty x,f(x),dx e Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2
O conteúdo aqui é variáveis aleatórias contínuas: vamos usar as fórmulas
Precisamos montar e calcular essas integrais em .

Passo 2

Calcular E[X] =integral-1^0 x,(1+x),dx ;+;integral0^1 x,(1-x),dx . Como integral-1^0x(1+x),dx =integral-1^0(x + x^2),dx =l[tfracx^22+tfracx^33r]-1^0 =l(0r)-l(tfrac12-tfrac13r) =-tfrac16 fora de integral0^1x(1-x),dx =integral0^1(x - x^2),dx =l[tfracx^22-tfracx^33r]0^1 =tfrac12-tfrac13 =tfrac16 , temos
Vamos quebrar as integrais:
  1. Para a :
  1. Para a :
Somando: .
Logo .

Passo 3

Calcular E[X^2] =integral-1^0x^2(1+x),dx ;+;integral0^1x^2(1-x),dx :
integral-1^0(x^2 + x^3),dx =l[tfracx^33+tfracx^44r]-1^0 =0-l(-tfrac13+tfrac14r) =;tfrac112
De novo, expandimos e integramos:
  1. integral0^1(x^2 - x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112 a :
  1. a :
Somando dá

Passo 4

Agora a variância:
Var(X) =E[X^2] - l(E[X]r)^2 =tfrac16-0^2 =tfrac16

Resposta

E[X]=0, Var(X)=16

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