Considere
uma v.a. continua com função densidade de probabilidade dada por
Determine a esperança matemática e a variância.
Passo 1
O enunciado diz que
f(x)= 0, & x<-1, 1+x, & -11 é uma v.a. contínua com densidade
O conteúdo aqui é variáveis aleatórias contínuas: vamos usar as fórmulas
Precisamos montar e calcular essas integrais em
.
Passo 2
Calcular
E[X] =integral-1^0 x,(1+x),dx ;+;integral0^1 x,(1-x),dx . Como
integral-1^0x(1+x),dx =integral-1^0(x + x^2),dx =l[tfracx^22+tfracx^33r]-1^0 =l(0r)-l(tfrac12-tfrac13r) =-tfrac16 fora de
integral0^1x(1-x),dx =integral0^1(x - x^2),dx =l[tfracx^22-tfracx^33r]0^1 =tfrac12-tfrac13 =tfrac16 , temos
Vamos quebrar as integrais:
- Para
a :
- Para
a :
Somando:
.
Logo .
Logo
Passo 3
Calcular
E[X^2] =integral-1^0x^2(1+x),dx ;+;integral0^1x^2(1-x),dx :
De novo, expandimos e integramos:
-
aintegral0^1(x^2 - x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112 :
-
a :
Somando dá
Passo 4
Agora a variância: