Dois capitais foram aplicados: o primeiro, de
, à taxa nominal de
a.a., capitalizada trimestralmente; e o segundo, de
, à taxa nominal de
a.a. capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? O capital de
esteve aplicado durante um ano, resultando no montante de
. Se a taxa de juros dos 4 primeiros meses foi de
a.m., qual a taxa de juros do prazo restante?
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos dois itens:
Temos dois itens:
- Dois investimentos em juros compostos:
- R$ 6 000 a 20% a.a. nominal com capitalização trimestral
- R$ 35 000 a 10% a.a. nominal com capitalização semestral
Queremos saber em quantos anos os juros (o rendimento) dos dois serão iguais.
- Um capital de R$ 17 000 aplicado por 1 ano rende R$ 49 200. Nos primeiros 4 meses a taxa é 7,2% a.m. (juros compostos mensais). Qual é a taxa mensal (composta) nos 8 meses restantes?
Conteúdo necessário:
- Transformar taxa nominal em taxa periódica (i = j_nominal / número de períodos)
- Fórmula de montante em juros compostos:
- Para o primeiro item, calcular o montante ou o juro acumulado e igualar.
- Para o segundo, usar fator de acumulação composto em duas fases e resolver para a taxa desconhecida.
Passo 2
Resolvendo o tempo para que os juros sejam iguais (item 1)
-
Converter as taxas nominais em taxas por período:
- Investimento 1: 20% a.a. capitalizado trimestralmente ⇒ i₁ = 0.20/4 = 0.05 por trimestre
- Investimento 2: 10% a.a. capitalizado semestralmente ⇒ i₂ = 0.10/2 = 0.05 por semestre
-
Em
anos, o número de trimestres é e o de semestres é . - Montante 1:
- Juros 1:
- Montante 2:
- Juros 2:
- Montante 1:
-
Queremos
: -
Colocando
, temos . A equação vira: Dividindo por 1000:Solvendo a equação do 2º grau:As raízes são(descartamos, pois implica ) e -
Volta à definição de
:
Passo 3
Resolvendo a taxa nos 8 meses restantes (item 2)
-
Juros compostos em duas fases (meses):
- Fase 1 (4 meses): taxa
ao mês - Fase 2 (8 meses): taxa desconhecida
ao mês
- Fase 1 (4 meses): taxa
-
Montante total após 12 meses:
-
Isolando
: -
Tirando a 8ª raiz:
Resposta
- Os rendimentos ficam iguais em aproximadamente 16,14 anos.
- A taxa mensal nos 8 meses restantes é cerca de 10,30% a.m..