Dois capitais foram aplicados: o primeiro, de R , à taxa nominal de , à taxa nominal de a.a., capitalizada trimestralmente; e o segundo, de aa, capitalizada trimestralmente; e o segundo, de , à taxa nominal de 35000 a.a. capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? O capital de 10 % esteve aplicado durante um ano, resultando no montante de R . Se a taxa de juros dos 4 primeiros meses foi de esteve aplicado durante um ano, resu a.m., qual a taxa de juros do prazo restante?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos dois itens:
  1. Dois investimentos em juros compostos:
    • R$ 6 000 a 20% a.a. nominal com capitalização trimestral
    • R$ 35 000 a 10% a.a. nominal com capitalização semestral
      Queremos saber em quantos anos os juros (o rendimento) dos dois serão iguais.
  2. Um capital de R$ 17 000 aplicado por 1 ano rende R$ 49 200. Nos primeiros 4 meses a taxa é 7,2% a.m. (juros compostos mensais). Qual é a taxa mensal (composta) nos 8 meses restantes?
Conteúdo necessário:
  • Transformar taxa nominal em taxa periódica (i = j_nominal / número de períodos)
  • Fórmula de montante em juros compostos: 6 000 a 20% aa nominal com capitalização trimestral - R
  • Para o primeiro item, calcular o montante ou o juro acumulado e igualar.
  • Para o segundo, usar fator de acumulação composto em duas fases e resolver para a taxa desconhecida.

Passo 2

Resolvendo o tempo para que os juros sejam iguais (item 1)
  1. Converter as taxas nominais em taxas por período:
    • Investimento 1: 20% a.a. capitalizado trimestralmente ⇒ i₁ = 0.20/4 = 0.05 por trimestre
    • Investimento 2: 10% a.a. capitalizado semestralmente ⇒ i₂ = 0.10/2 = 0.05 por semestre
  2. Em 6000,(1.05)^4n - 6000 ;=; 35000,(1.05)^2n - 35000 anos, o número de trimestres é 6000,x^2 - 6000 = 35000,x - 35000 ;Longrightarrow; 6000x^2 -35000x +29000 = 0 e o de semestres é 6x^2 - 35x + 29 = 0 .
    • Montante 1: x = 35 pm raiz35^2 - 4cdot6cdot292cdot6 = 35 pm raiz52912 = 35 pm 2312
    • Juros 1: x = 5812 approx 4.8333
    • Montante 2: (1.05)^2n = 4.8333 Longrightarrow 2n = ln(4.8333)ln(1.05) Longrightarrow n approx 16,14 anos
    • Juros 2:
  3. Queremos :
  4. Colocando , temos . A equação vira:
    Dividindo por 1000:
    Solvendo a equação do 2º grau:
    As raízes são (descartamos, pois implica ) e
  5. Volta à definição de :

Passo 3

Resolvendo a taxa nos 8 meses restantes (item 2)
  1. Juros compostos em duas fases (meses):
    • Fase 1 (4 meses): taxa 17000 times (1 + 0.072)^4 times (1 + i2)^8 = 49200 ao mês
    • Fase 2 (8 meses): taxa desconhecida (1 + i2)^8 = 4920017000 ,(1.072)^4 approx 2.894121.32062 approx 2.1904 ao mês
  2. Montante total após 12 meses:
    1 + i2 = (2.1904)^1/8 approx e^ln(2.1904)8 approx 1.1030 Longrightarrow i2 approx 0.1030 = 10,30% ao mês
  3. Isolando :
  4. Tirando a 8ª raiz:
    ê

Resposta

  1. Os rendimentos ficam iguais em aproximadamente 16,14 anos.
  2. A taxa mensal nos 8 meses restantes é cerca de 10,30% a.m..

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