Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
Calcular
onde
é o triángulo de vêrtices
e
e percorrida no sentido anti-horário.
Calcular
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada
onde
é o triângulo
com
,
,
, no sentido anti-horário.
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região limitada por
.
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada
orientada positivamente e região
interna, vale
Aqui
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que formam o integrando:
Portanto o integrando é
Passo 4
Agora descrevemos a região
(o triângulo
). As arestas são:
- de
a : reta , - de
a : reta , - de
a : vertical .
Para montar a integral dupla, escolhemos
variando de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Assim
Passo 5
Vamos calcular a integral iterada:
Agora integramos em
: