Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
Calcular
I=ointGamma 2(x^2+y^2) d x+(x+y)^2 d y
onde Gamma é o triángulo de vêrtices A(1,1), B(2,2) e C(1,3) e percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada
I=ointGamma2l(x^2+y^2r),dx+(x+y)^2,dy
onde Gamma é o triângulo ABC com A(1,1), B(2,2), C(1,3), no sentido anti-horário.
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D limitada por Gamma.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada Gamma orientada positivamente e região D interna, vale
ointGammaP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui P(x,y)=2(x^2+y^2) e Q(x,y)=(x+y)^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que formam o integrando:
partial Qpartial x =partialpartial x(x+y)^2 =2(x+y), partial Ppartial y =partialpartial y2(x^2+y^2) =4y
Portanto o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2(x+y)-4y =2x-2y

Passo 4

Agora descrevemos a região D (o triângulo ABC). As arestas são:
  • de A(1,1) a B(2,2): reta y=x,
  • de B(2,2) a C(1,3): reta y=-x+4,
  • de C(1,3) a A(1,1): vertical x=1.
Para montar a integral dupla, escolhemos x variando de 1 a 2 e, para cada x, y varia de yrm inf=x até yrm sup=-x+4. Assim
I =integral duplaD(2x-2y),dA =integralx=1^2integraly=x^4-x(2x-2y),dy,dx

Passo 5

Vamos calcular a integral iterada:
integraly=x^4-x(2x-2y),dy =l[2x,y-y^2r]y=x^y=4-x =l(8x-2x^2-(16-8x+x^2)r)-l(2x^2-x^2r) =-4x^2+16x-16
Agora integramos em x:
integral1^2(-4x^2+16x-16),dx =l[-tfrac43x^3+8x^2-16xr]1^2 =l(-tfrac323+32-32r)-l(-tfrac43+8-16r) =-tfrac323-l(-tfrac283r) =-tfrac43

Resposta

I=-43

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