A Capitão Caverna s/a, localizada em Pedra Lascada, aluga três tipos de barcos para passeios marítimos: jangada, supercanoa e arca. A companhia fornece como o barco um capitão para navegá-lo e uma tripulação, que varia de acordo com a embarcação: 1 funcionário para jangadas, 2 para supercanoas, e 3 para arcas. A companhia tem 4 jangadas, 8 supercanoas e 3 arcas. Em seu corpo de funcionários: 10 capitães e 18 tripulantes. O aluguel é por diária e a Capitão Caverna lucra 50 marfins por jangada; 70 com a supercanoa e 100 com a arca. Quantos barcos devem ser alugados de cada um para o máximo lucro?

Passo 1

Beleza, vamos brincar de otimização aqui. O enunciado é um problema de Programação Linear: queremos alugar 3 tipos de barcos (jangada, supercanoa e arca) de forma a maximizar o lucro, respeitando limites de barcos disponíveis, de capitães e de tripulantes.
Matéria envolvida: Programação Linear (PL).
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis de decisão
  • Montar as desigualdades (restrições)
  • Montar a função objetivo (lucro)
  • Encontrar a solução factível que dá o lucro máximo, analisando os “cantinhos” da região de soluções.

Passo 2

Definindo variáveis:
x₁ = número de jangadas alugadas
x₂ = número de supercanoas alugadas
x₃ = número de arcas alugadas
Função lucro (que queremos maximizar):
L = 50x1 ;+; 70x2 ;+; 100x3
Restrições:
  1. Disponibilidade de barcos:
x1 <= 4, x2 <= 8, x3 <= 3
  1. Capitães (1 por qualquer barco):
x1 + x2 + x3 ;<=; 10
  1. Tripulantes (1 por jangada, 2 por supercanoa, 3 por arca):
1cdot x1 ;+; 2cdot x2 ;+; 3cdot x3 ;<=; 18
  1. Não-negatividade:
x1,x2,x3 >= 0

Passo 3

Como são só 3 variáveis e limites inteiros pequenos, um jeito prático é “testar” cada valor possível de (0,1,2,3) e, para cada um, achar os que maximizem dadas as restrições remanescentes. Assim a gente encontra o melhor canto da região factível.

Passo 4

Para cada (x1,x2,x3) = (4,4,2) , sobram certas vagas de capitães e tripulantes. Aí, dentro dos limites de e , alocamos o que der mais lucro. Resumindo os cálculos rápidos:
  1. :
    • Cap.:10 livres, Trip.:18 livres
    • Melhor: , .
  2. :
    • Cap.:9, Trip.:15
    • Melhor: , .
  3. :
    • Cap.:8, Trip.:12
    • Melhor: , .
  4. :
    • Cap.:7, Trip.:9
    • Melhor: , .
Comparando, o máximo é marfins, quando

Resposta

Alugar 4 jangadas, 4 supercanoas e 2 arcas, gerando um lucro máximo de 680 marfins.

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